notes/school/di-ma/uebung/06/06_3.tex

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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {6}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 6.3}

\begin{enumerate}[1.]

    \item Anzahl der Automorphismen des vollständigen Graphen $K_n = (V,E)$ mit $V = \{1,...,n\}$ und
        $E = \{\{i,j\} | 1 \leq i,j \leq n \land i \neq j \}$

        $\forall v \in V, \Gamma(v) = V\textbackslash{}\{v\}$

        Da jeder Knoten mit jedem Knoten verbunden ist und $\forall v \in V, dev(v) = |V| - 1$, können alle Knoten
        beliebig getauscht werden.

        $\Rightarrow n!$ Automorphismen

    \item Anzahl der Automorphismen des Sterngraphen $S_n = (V,E)$ mit $V = \{1,...,n\}$ und
        $E = \{\{1,i\} | i = 2,...n\}$

        Der innere Knoten $i = 1$ kann sich nicht verändern, da er der einziger Knoten mit $deg(i) = n-1 \neq 1$ ist.

        Die äußeren Knoten $O = V\textbackslash{}\{i\}$ können beliebig getauscht werden, da sie nur je einen
        gemeinsamen Nachbarn haben: $\forall v \in O, \Gamma(v) = \{i\} \land deg(v) = 1$

        $\Rightarrow (n-1)!$ Automorphismen

    \item Asymmetrischer Graph mit Knotenanzahl $n = 6$

        \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/06/06_3.png}

\end{enumerate}

\end{document}