102 lines
3.3 KiB
TeX
102 lines
3.3 KiB
TeX
|
\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
|
||
|
|
\usepackage{url}
|
||
|
|
%\usepackage{graphics}
|
||
|
|
\usepackage{times}
|
||
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||
|
|
\usepackage{ngerman}
|
||
|
|
\usepackage{float}
|
||
|
|
\usepackage{diagbox}
|
||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
|
|
\usepackage{geometry}
|
||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage{cancel}
|
||
|
|
\usepackage{wasysym}
|
||
|
|
\usepackage{csquotes}
|
||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
||
|
|
\usepackage{epsfig}
|
||
|
|
\usepackage{paralist}
|
||
|
|
\usepackage{tikz}
|
||
|
|
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
|
||
|
|
\def \name {Valentin Brandl} %
|
||
|
|
\def \matrikel {108018274494} %
|
||
|
|
\def \pname {Marvin Herrmann} %
|
||
|
|
\def \pmatrikel {108018265436} %
|
||
|
|
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
|
||
|
|
\def \qname {Pascal Brackmann}
|
||
|
|
\def \qmatrikel {108017113834} %
|
||
|
|
\def \uebung {7} %
|
||
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||
|
|
|
||
|
|
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
|
||
|
|
\newcommand{\hwsol}{
|
||
|
|
\vspace*{-2cm}
|
||
|
|
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
|
||
|
|
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
|
||
|
|
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
|
||
|
|
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
%Import header
|
||
|
|
\hwsol
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Aufgabe 7.2}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}[1.]
|
||
|
|
|
||
|
|
\item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_1.png}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Eulertour: $(1, 2, 3, 1)$
|
||
|
|
\item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 1)$
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_2.png}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Eulertour: $(1,2,3,4,5,3,1)$
|
||
|
|
\item Kein Hamiltonkreis: (Widerspruchsbeweis)
|
||
|
|
|
||
|
|
G sei hamiltonsch. Aufgrund der Symmetrie gibt es nur 2 Mögliche Startknoten für einen Hamiltonkreis:
|
||
|
|
Der mittlere Knoten ($3$) oder einer der 4 äußeren Knoten ($1,2,4,5$).
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}[1.]
|
||
|
|
\item Fall: Starten bei Knoten $3$
|
||
|
|
|
||
|
|
Aufgrund der Symmetrie sind alle möglichen Wege von hier aus äquivalent. Nach $(3,1,2)$ ist es
|
||
|
|
unmöglich, die restlichen Knoten des Graphen zu besuchen, ohne $3$ erneut zu besuchen.
|
||
|
|
|
||
|
|
$\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Fall: Starten bei Knoten $1$ (oder äquivalent $2,4,5$)
|
||
|
|
|
||
|
|
Der einzige Weg, um die gegenüberliegenden Knoten ($4,5$) zu erreichen, führt über $3$. Um einen
|
||
|
|
Kreis zu bilden, muss man aber wieder zurück zu $1$ laufen. Dieser Weg führt erneut über $3$,
|
||
|
|
$3$ wird also doppelt durchlaufen
|
||
|
|
|
||
|
|
$\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
$\Rightarrow$ G ist nicht hamiltonsch
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_3.png}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Keine Eulertour, da $deg(1) = deg(4) = 3$ ist nicht gerade
|
||
|
|
\item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 4, 1)$
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_4.png}
|
||
|
|
|
||
|
|
Graph ist nicht zusammenhängend, daher ist die Grundvoraussetzung für \enquote{eulersch} und
|
||
|
|
\enquote{hamiltonsch} nicht gegeben $\Rightarrow$ nicht eulersch und nicht hamiltonsch
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|