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title: Bäume
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date: 2018-11-06
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Bäume sollen zusammenhängende Graphen sein. Mit minimaler Anzahl von Kanten bei
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gegebener Knotenmenge, d.h. $|E| = |V| - 1$. Solche Graphen können keine Kreise
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enthalten.
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# Definition (Baum, Wald, Blatt)
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a) Ein **Baum** ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph
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a) Ein **Wald** ist ein Grpah mit Zusammenhangskomponenten, die Bäume sind.
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a) ein **Blatt** ist ein Knoten $u$ in einem Baum $T=(V,E)$ mit $deg(u) = 1$.
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Knoten, die keine Blätter sind, heißen innere Knoten
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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**Beispiel**
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Ist ein Baum. Blätter $2,5,6$
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# Lemma
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a) Ein Baum mit mindestens 2 Knoten hat mindestens 2 Blätter.
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a) In einem Baum gibt es zwischen je 2 Knoten genau einen Pfad.
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a) Sei $T=(V,E)$ ein Baum, dann hat $T\setminus \{v\}$ für $v\in V$ genau
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$deg(v)$ Zusammenhangskomponenten.
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# Beweis (Lemma)
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a) Da es mindestens 2 Konten $u,v$ gibt, gibt es auch mindestens 1 Kante
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${u,v}$ mit $u,v \in V$. Gehe in jeder Richtung den Baum entlang, bis wir in
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einer Sackgasse enden. diese beiden Endpunkte sind Blätter. Da es keine Kreise
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gibt, muss die Sackgasse erreicht werden.
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a) Gäbe es 2 Pfade, dann auch einen Kreis. Widerspruch zu "kreisfrei"
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a) jetzt nicht
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# Satz
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Für jeden Baum $T = (V,E)$ gilt $|E| = |V| - 1$
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# Beweis
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Wir nehmen an, der Satz sei falsch. Sei $T_0 = (V_0, E_0)$ ein Gegenbeispiel
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mit minimaler Anzahl von Knoten, d.h. es gilt $|E_0| \neq |V_0|-1$ und für alle
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Bäume $T=(V,E)$ mit weniger als $|V_0|$ Knoten gilt $|E|=|V|-1$.
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Es gilt sicher $|V_0| \geq 2$, dann gibt es in $T_0$ nach Lemma a) mindestens 2
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Blätter $u, v$.
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Betrachte $T' = T_0 \setminus \{u\}$. Da $u$ Blatt gilt $deg(u) = 1$ und laut
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Lemma c) hat $T'$ $deg(u)=1$ viele Zusammenhangskomponenten, d.h. $T'$ ist
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zusammenhängend und kreisfrei.
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$\Rightarrow T'$ ist ein Baum mit $T' = (V',E')$ mit $V' = V\setminus \{u\}$,
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$E' = E \setminus \{u, u'\}$, wobei $u'$ der (eindeutige) mit $u$ benachbarte
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Knoten ist.
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Da $|V'| \leq |V_0|$ gilt $|E'| = |V'| - 1$, damit $|E_0| - 1 = (|V_0| - 1) -1$
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$\Rightarrow |E_0| = |V_0| - 1$. Widerspruch dazu, dass $T_0$ ein Gegenbeispiel
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ist.
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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# Definition (Spannbaum)
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Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Ein Spannbaum $T=(V',E')$ ist ein Teilgraph von $G$
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mit
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i) $T$ ist Baum
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i) $V' = V$
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# Satz (Existenz Spannbaum)
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Ein Graph hat genau dann einen Spannbaum, falls $G$ zusammenhängend ist.
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