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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {7} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 7.1}
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Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Mit $G^c := (V,(\frac{V}{2})\setminus E )$ bezeichnen wir den zu G komplementären Graphen. In Hausübung 6.3 wurde definiert, wann ein Graph asymmetrisch ist. Zeige: G ist asymmetrisch $\Leftrightarrow G^c$ ist asymmetrisch\\
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Definition Asymmetrisch:\\
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Sei $G = (V,E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Automorphismus von G ist ein Isomorphismus
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von G auf sich selbst, d.h. eine Bijektion $f : V \rightarrow V$ , so dass $\{u,v\} \in E$ genau dann, wenn
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$\{f(u),f(v)\}g \in E$. Ein Graph heißt genau dann asymmetrisch, wenn die Identität der einzige
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Automorphismus ist.\\
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\textbf{BEWEIS:}\\
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Seien $G=(V_1,E_1)$ und $G^c=(V_2,E_2)$ zwei Graphen, wobei $G^c$ der Komplementgraph von G ist.\\
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\noindent
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G hat einen Automorphismus f.\\
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$\Leftrightarrow$\\
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Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_1$ (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt).\\
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$\Leftrightarrow$\\
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Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_1$ (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
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$\Leftrightarrow$ (*)(**)\\
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Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_2$ (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
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$\Leftrightarrow$\\
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Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_2$ (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
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$\Leftrightarrow$\\
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$G^c$ hat einen Automorphismus f.\\
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G asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von G und somit auch von $G^c$.
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$G^c$ kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf G bildet.\\
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$G^c$ asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von $G^c$ und somit auch von G.
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G kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf $G^c$ bildet.\\
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(*) $\{(u,v)\}$ Kante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Nichtkante in $G^c$\\
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(**) $\{(u,v)\}$ Nichtkante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Kante in $G^c$
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\end{document}
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