83 lines
2.6 KiB
TeX
83 lines
2.6 KiB
TeX
|
\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
|
||
|
|
\usepackage{url}
|
||
|
|
%\usepackage{graphics}
|
||
|
|
\usepackage{times}
|
||
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||
|
|
\usepackage{ngerman}
|
||
|
|
\usepackage{float}
|
||
|
|
\usepackage{diagbox}
|
||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
|
|
\usepackage{geometry}
|
||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage{cancel}
|
||
|
|
\usepackage{wasysym}
|
||
|
|
\usepackage{csquotes}
|
||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
||
|
|
\usepackage{epsfig}
|
||
|
|
\usepackage{paralist}
|
||
|
|
\usepackage{tikz}
|
||
|
|
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
|
||
|
|
\def \name {Valentin Brandl} %
|
||
|
|
\def \matrikel {108018274494} %
|
||
|
|
\def \pname {Marvin Herrmann} %
|
||
|
|
\def \pmatrikel {108018265436} %
|
||
|
|
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
|
||
|
|
\def \qname {Pascal Brackmann}
|
||
|
|
\def \qmatrikel {108017113834} %
|
||
|
|
\def \uebung {8} %
|
||
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||
|
|
|
||
|
|
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
|
||
|
|
\newcommand{\hwsol}{
|
||
|
|
\vspace*{-2cm}
|
||
|
|
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
|
||
|
|
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
|
||
|
|
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
|
||
|
|
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
%Import header
|
||
|
|
\hwsol
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Aufgabe 8.1}
|
||
|
|
|
||
|
|
Sei $H_d$ der $d$-dimensionale Hyperwürfel.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item IA: $H_1$ und $H_2$ sind hamiltonsch:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{figure}[h!]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.png}
|
||
|
|
\caption{$H_1$ mit Hamiltonkreis $(0,1,0)$}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{figure}[h!]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.png}
|
||
|
|
\caption{$H_2$ mit Hamiltonkreis $(00,01,11,10,00)$}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Zu zeigen: Wenn $H_d$ hamiltonsch ist, ist auch $H_{d+1}$ hamiltonsch.
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Jeder weitere Hyperwürfel $H_{d+1}$ entsteht, indem man zwei mal $H_d$ nimmt und an jeden Knoten in der
|
||
|
|
ersten Kopie eine $0$ und an jeden Knoten der zweiten Kopie eine $1$ anhängt. Anschließend werden alle Knoten
|
||
|
|
aus der ersten und zweiten Kopie, die sich nur in der letzten Position unterscheiden, verbunden.
|
||
|
|
|
||
|
|
\item $H_{d+1}$ besteht also jetzt schon aus 2 Kreisen $k_0, k_1$, den Hamiltonkreisen in den beiden Kopien von
|
||
|
|
$H_d$. $k_n$ sei ein Hamiltonkreis in $H_d$, bei dem an jeden Knoten $n$ angehangen wird um der Benennung von
|
||
|
|
$H_{d+1}$ zu entsprechen.
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Durchlaufen von $k_0$ bis zum letzten Knoten, anschließendes wechseln zum letzten Knoten aus $k_1$,
|
||
|
|
umgekehrtes durchlaufen von $k_1$ und anschließendes wechseln zum ersten Knoten aus $k_0$ liefert den
|
||
|
|
Hamiltonkreis in $H_{d+1}$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|