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title: Wurzelbäume
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date: 2018-11-14
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**Idee**: wir zeichnen einen Knoten $v \in V$ für einen Baum $T=(V,E)$ aus,
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nennen ihn Wurzel.
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* $5$: Wurzel
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* $4$: Kindknoten
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* $2$, $3$: Geschwister
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* $4, 1, 2, 3$: Teilbaum
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* $H(T) = 3$
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Wurzelbäume "wachsen" nach unten.
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# Definition (Wurzelbaum)
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Sei $T=(V,E)$ ein Baum. Wir definieren für $v \in V$ den in $v$ gewurzelten
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Baum $T_v$ mit
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i) $v$ heißt Wurzel
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i) Alle $u \in \Gamma(v)$ heißen Kindknoten von $v$, $v$ heißt Elternknoten von
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$u$
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i) Kindknoten mit gleichen Elternknoten heißen Geschwister
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i) Sei $u$ Kindknoten von $v$. Dann ist $u$ die Wurzel eines Teilbaums mit
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Kindknoten $\Gamma(u) \setminus \{v\}$
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i) Für $u \in V$ mit einem $u$-$v$-Pfad der Länge $k$ sie die $Tiefe(u) = k$
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i) Die Höhe eines Wurzelbaums ist definiert als $H(T_v) = \max\limits_{u \in V}
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\{ Tiefe(u) \}$
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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# Definition (Binärbaum)
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Sei $T_v=(V,E)$ ein in $v$ gewurzelter Baum.
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i) $T_v$ heißt Binärbaum, falls jeder Knoten maximal 2 Kindknoten hat.
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i) $T_v$ heißt **vollständiger** Binärbaum, falls jeder Knoten, der kein Blatt
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ist, genau 2 Kindknoten hat und alle Blätter gleiche Tiefe haben.
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**Beispiel**:
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i) oben ist Binärbaum, aber nicht vollständig
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i)  Vollständiger Binärbaum der Höhe 2
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**Bemerkung**: Ein vollständiger Binärbaum der Höhe $n$ hat $t$ Knoten mit $t =
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2^{n+1} - 1 = \sum\limits_{i=0}^n 2^i$
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Binärbäume können beim Suchen von Elementen in einer endlichen Menge genutzt
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werden.
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# Definition (Binärer Suchbaum)
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Sei $T_v=(V,E)$ mit $V \subseteq \mathbb{Z}$ ein binärer Wurzelbaum mit Wurzel
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$v$. $T_v$ heißt binärer Suchbaum, falls für alle $u \in V$ gilt
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i) $u_l \leq u, \forall u_l \in V$ im linken Teilbaum
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i) $u_r \geq u, \forall u_r \in V$ im rechten Teilbaum
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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**Beispiel**: 
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# Algorithmus (Binäre Suche)
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**Eingabe**: Suchbaum $T_v=(V,E)$ und Element $u \in \mathbb{Z}$
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i) setze $w = v$
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i) `while (w `$\neq$`u)` und $w$ kein Blatt
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a) falls $u < w$: setze $w \leftarrow$ linker Kindknoten von $w$
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a) falls $u > w$: setze $w \leftarrow$ rechter Kindknoten von $w$
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**Ausgabe**: falls $w = u$ dann "u gefunden", sonst "u nicht gefunden"
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