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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {7} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 7.3}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Startknoten: Einen der inneren oder einen der äußeren
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Knoten
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Fallunterscheidung:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Starten bei einem inneren Knoten:
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\item Starten bei einem äußeren Knoten
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\end{enumerate}
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\item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Arten von Knoten, von denen einer entfernt werden
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kann.
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Entfernen eines inneren Knoten ($2$):
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Hamiltonkreis: $(1,3,4,8,10,9,7,5,6,1)$
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\item Entefernen eines äußeren Knoten ($1$):
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Hamiltonkreis: $(2,7,9,3,4,5,6,10,8,2)$
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\end{enumerate}
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Für alle (unterscheidbaren) Möglichkeiten, einen Knoten zu entfernen, wurde gezeigt, dass es einen
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Hamiltonkreis gibt und der Graph damit hamiltonsch ist.
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q.e.d.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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