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notes/school/intro-crypto/uebung/04/04.tex

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Add intro-crypto exercise 04
2018-11-15 11:54:38 +01:00
\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{paralist}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
\graphicspath{.}
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl} %
\def \matrikel {108018274494} %
% \def \pname {Vorname2 Nachname2} %
% \def \pmatrikel {Matrikelnummer2} %
\def \gruppe {Gruppe 193} %
\def \uebung {4} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\
% \noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
\begin{document}
%Import header
\hwsol
\section*{Aufgabe 1}
Grad $m = 6 \Rightarrow 2^m - 1 = 2^6 - 1 = 63$.
Zust<EFBFBD>nde und Tabellen wurden mit dem angeh<65>ngten Code generiert.
%{{{ a1
\begin{enumerate}[a)]
\item $x^5 + x^4 + x^2 + x + 1$
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{1a}
\caption{Schaltbild des Schieberegisters f<>r 1a)}
\end{figure}
IV: $1 0 0 0 0 0$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 21 Iterationen.
Neuer IV: $1 1 1 1 1 1$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 \\
\end{tabular}
Wiederholung wieder nach 21 Iterationen.
$63 - 21 - 21 = 21$ Fehlende Zust<73>nde.
Neuer IV: $1 1 0 0 0 0$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{tabular}
Wiederholung wieder nach 21 Iterationen.
$63 - 21 - 21 - 21 = 0$ Fehlende Zust<73>nde. Alle m<>glichen Zust<73>nde wurden erzeugt.
Keine Sequenz maximaler L<>nge aber L<>nge unabh<62>ngig von IV$\Rightarrow$ es liegt ein irreduzibles Polynom
zugrunde
\item $x^5 + x + 1$
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{1b}
\caption{Schaltbild des Schieberegisters f<>r 1b)}
\end{figure}
IV: $1 0 0 0 0 0$
\begin{longtable}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{longtable}
Wiederholung nach 63 Iterationen, es wurden also eine Sequenz maximaler L<>nge erzeugt $\Rightarrow$ primitives
Polynom liegt zugrunde.
\item $x^5 + x^3 + x^2 + x + 1$
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=\textwidth]{1c}
\caption{Schaltbild des Schieberegisters f<>r 1c)}
\end{figure}
IV: $1 0 0 0 0 0$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 15 Iterationen.
Neuer IV: $1 1 1 1 1 1$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & 1 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 15 Iterationen. $63 - 15 - 15 = 33$ Fehlende Zust<73>nde.
Neuer IV: $1 1 0 0 0 0$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 15 Iterationen. $63 - 15 - 15 - 15 = 18$ Fehlende Zust<73>nde.
Neuer IV: $1 1 1 0 0 0$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{0} & \underline{0} & \underline{0} & 0 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 15 Iterationen. $63 - 15 - 15 - 15 - 15 = 3$ Fehlende Zust<73>nde.
Letzter IV: $1 0 1 1 0 1$
\begin{tabular}{|cccccc|c|}
$x_5$ & $x_4$ & $x_3$ & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & Output \\\hline
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\underline{1} & \underline{0} & \underline{1} & \underline{1} & \underline{0} & \underline{1} & 1 \\
\end{tabular}
Wiederholung nach 3 Iterathonen. $63 - 15 - 15 - 15 - 15 -3 = 0$ fehlende Zust<73>nde.
Keine Sequenz maximaler L<>nge und L<>nge ist abh<62>ngig von IV $\Rightarrow$ reduzibles Polynom liegt zugrunde.
\end{enumerate} %}}}
\section*{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray*}
s = 155 \text{ Mbits/sec} = 155 * 2^{20} \text{ bit/sec} \\
12h = 12 * 60 * 60 sec = 43200 sec \\
155 * 2^{20} \frac{bit}{sec} * 43200 sec = 7021264896000 bit
\end{eqnarray*}
Gesucht $m \in \mathbb{N}$, so dass $2^m - 1 > 7021264896000$ (gel<65>st mit Wolframalpha)
\begin{eqnarray*}
2^m - 1 &> 7021264896000 \\
m &> 42
\end{eqnarray*}
Vorausgesetzt, es handelt sich um ein primitives Polynom, ist der minimale Grad, der ben<65>tigt wird, dass eine
Wiederholung in der Schl<68>sselfolge fr<66>hestens nach 12 Stunden passiert $m = 43$.
\section*{Aufgabe 3}
\begin{enumerate}[a)]
\item $m = 8 \Rightarrow 2^m - 1 = 2^8 - 1 = 255$
\item $2*m - 1 = 2 * 8 - 1 = 15$
\item
\begin{align*}
y_i &\equiv x_i + s_i &\mod 2 \\
s_i &\equiv y_i + x_i &\mod 2
\end{align*}
Rekonstruieren der ersten 15 Bit des Schl<68>sselstroms mit Hilfe des known-plaintext \enquote{Mo} $\Rightarrow$
0x4d, 0x6f $\Rightarrow (01001101)_2, (01101111)_2$
Die ersten 2 Bytes des Ciphertext sind 0xEC, 0xD4 $\Rightarrow (11101100)_2, (11010100)_2$
Mit Hilfe des angeh<65>ngten Programms wurden die folgenden 2 Schl<68>sselstrom Bytes berechnet: $(10100001)_2,
(10111011)_2 \Rightarrow (A1)_{16}, (BB)_{16}$
\item Folgendes System $(A\mid b)$ gilt es zu l<>sen:
Die Matrix wurde mit Hilfe von \url{https://planetcalc.com/3324/} invertiert.
\begin{align*}
\begin{array}({@{}cccccccc|c@{}})
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array} \\
Ax = b \Rightarrow A^{-1}b = x \\
A^{-1} =
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{matrix} \\
b =
\begin{matrix}
1\\
0\\
1\\
1\\
1\\
0\\
1\\
1\\
\end{matrix}\\
x =
\begin{array}({@{}cccccccc@{}})
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array} \\
p_0 = 1 \\
p_1 = 1 \\
p_2 = 0 \\
p_3 = 0 \\
p_4 = 0 \\
p_5 = 1 \\
p_6 = 1 \\
p_7 = 0 \\
\end{align*}
\item Der Klartext ist \enquote{Mondl4ndunG}.
Berechnet mit dem Code im Anhang.
\item Die erste unsanfte und unbemannte Mondlandung war am 13.09.1959 (Lunik 2).
Die erste sanfte und unbemannte Mondlandung am 03.02.1966 (Luna 9)
Die erste bemannte Mondlandung war am 21.07.1969 (Apollo 11).
(Quelle: \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mondlandung})
\end{enumerate}
% \section*{Code}
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