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school/di-ma/20181023_1-zahlpartitionen.md

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+title: Zahlpartitionen
+date: 2018-10-23
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+**Gegeben**: $n,k \in \mathbb{N}$, $k < n$
+
+Auf wie viele Arten kann man $n$ als Summe von $k$ natürlichen Zahlen $\geq 1$ schreiben
+
+**Beispiel**:
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+$$
+n = 4, k = 2 \\
+4 = 1 + 3 \\
+4 = 2 + 2 \\
+4 = 3 + 1
+$$
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+# Ungeordnete Zahlpartitionen
+
+Eine ungeordnete Zahlpartition entspricht einer Multimenge $\{s_1,...,s_n\}$, so dass $s_i \geq 1, s_i \in \mathbb{N}$
+und $\sum\limits_{i=1}^k s_i = n$. Wir bezeichnen die Anzahl dieser ungeordneten Zahlpartitionen/Multimengen mit
+$P_{n,k}$.
+
+## Satz
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+Es gilt $P_{n,k} = P_{n-1,k-1} + P_{n-k,k}$ mit $P_{n,0} = P_{0,0} = 0$ und $P_{n,n} = P_{n,1} = 1$
+
+## Beweis
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+Wir teilen die Zahlpartitionen diesmal in $(k+1)$ disjunkte Fälle auf.
+
+* Fall $i$ ($i \in \{1,...,k\}$)
+
+	Wir betrachten die Zahlpartitionen, bei denen genau $i$ der Summanden gleich $1$ sind. Ohne Einschränkung sei
+	$s_1 = s_2 = ... = s_i = 1$ und damit $s_{i+1},...,s_k \geq 2$
+
+	Es gilt $\sum\limits_{j=i+1}^k s_j = (n-i)$
+
+	Betrachte wieder $s_j' = s_{j-1}$ für $j \in \{i-1,...,k\}$. Dann gilt
+	$\sum\limits_{j=i+1}^k s_j' = (n-i) - (k-i) = (n-k)$ und $s_j' \geq 1$. Damit gibt es im Fall $i$ genau $P_{n-k,k}$
+	Möglichkeiten.
+
+Summenregel liefert
+
+$$
+P_{n,k} = \sum\limits_{i=0}^k P_{n-k,k-i} = \sum\limits_{j=0}^k P_{n-k,j}
+$$
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+# Geordnete Zahlpartitionen
+
+Eine geordnete Zahlpartition entspricht einem $k$-Tupel $(s_1, ...s_k)$ mit $\sum\limits_{i=1}^k s_i = n$ mit
+$s_i \in \mathbb{N}, s_i \geq 1$. Wir zählen die Anzahl der Tupel wie folgt:
+
+* Schreibe $n$ als Summe von $n$ Einsen
+* Jede $k$-Partition entspricht der Wahl von $(k-1)$ Plus Zeichen in obiger Summe. Da es $(n-1)$ Plus Zeichen gibt,
+  erhalten wir $\binom{n-1}{k-1}$ geordnete $k$-Partitionen der Zahl.
+
+## Satz
+
+Die Anzahl der geordneten $k$-Partitionen der Zahl $n$ ist $\binom{n-1}{k-1}$
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+**Beispiel**:
+
+a) Frage: Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x_1+x_2+...+x_{10} = 100$ mit $x_i \in \mathbb{N}, x_i \geq 1$?
+
+   Antwort: $\binom{99}{9}$
+
+b) Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x_1+x_2+...+x_{10} = 100$ mit $x_i \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ ($x_i \geq 0$)?
+
+   Trick: wir betrachten $y_i = x_i + 1$. Dann gilt $y_1 + y_2+...+y_{10} = 100 + 10 = 110$. Damit gibt es
+   $\binom{109}{9}$ Möglichkeiten.

school/di-ma/20181023_2-baelle_und_urnen.md

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+title: Bälle und Urnen
+date: 2018-10-23
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+**Gegeben**: $n$ Bälle, $m$ Urnen
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+**Frage**: Wie viele Möglichkeiten gib es, diese Bälle auf die Urnen zu verteilen?
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+Antwort ist abhängig davon, was man genau möchte.
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+* Bälle/Urnen (nicht) unterscheidbar
+* In jeder Urne höchstens ein Ball (injektiv) $\Rightarrow m \geq n$
+* In jeder Urne mindestens ein Ball (surjektiv) $\Rightarrow n \geq m$
+* In jeder Urne genau ein Ball (bijektiv) $\Rightarrow n = m$
+
+Notation:
+* $U \widehat{=}$ unterscheidbar
+* $N \widehat{=}$ nicht unterscheidbar
+
+| ...            | beliebig                         | injektiv               | surjektiv             | bijektiv  |
+| ---            | ---                              | ---                    | ---                   | ---       |
+| B: $U$, U: $U$ | A: $m^n$                         | B: $n^{\underline{m}}$ | F: $m!s_{n,m}$        | $n! = m!$ |
+| B: $N$, U: $U$ | D: $\binom{m+n-1}{n}$            | C: $\binom{m}{n}$      | H: $\binom{n-1}{m-1}$ | 1         |
+| B: $U$, U: $N$ | I: $\sum\limits_{k=1}^m S_{n,k}$ | 1                      | E: $S_{n,m}$          | 1         |
+| B: $N$, U: $N$ | J: $\sum\limits_{k=1}^m P_{n,k}$ | 1                      | G: $P_{n,m}$          | 1         |
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+Die Fälle A-D entsprechen genau den Fällen A-D beim ziehen von $n$ Elementen aus einer $m$-elementingen Menge (gezogen
+werden Urnen für die Bälle).

school/di-ma/index.md

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 - [2018-10-10 Binomialkoeffizient](20181010_1-binomialkoeffizient)
 - [2018-10-16 Kombinatorische Prinzipien](20181016_1-kombinatorische_prinzipien)
 - [2018-10-17 Wichtige Kombinatorische Probleme](20181017_1-wichtige_kombinatorische_probleme)
+- [2018-10-23 Zahlpartitionen](20181023_1-zahlpartitionen)
+- [2018-10-23 Bälle und Urnen](20181023_2-baelle_und_urnen)