Split exercises
This commit is contained in:
Valentin Brandl
parent
3dca722ef9
commit
1f967bfd6f
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Problem entspricht einer ungeordneten $k$-Mengenpartition, also $S_{n,k}$
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Problem entspricht einer ungeordneten $k$-Mengenpartition, also $S_{n,k}$
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\begin{tabular}{c|cccccccccc}
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$n/k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline
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0 & 1 &&&&&&&&& \\
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1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\
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2 & 0 & 1 & 1 & & & & & & & \\
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3 & 0 &1 &3 &1 & & & & & & \\
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4 & 0 &1 &7 &6 &1 & & & & & \\
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5 & 0 &1 &15 &25 &10 &1 & & & & \\
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6 & 0 &1 &31 &90 &65 &15 &1 & & & \\
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7 & 0 &1 &63 &301 &350 &140 &21 &1 & & \\
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8 & 0 &1 &127 &966 &1701 &1050 &266 &28 &1 & \\
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9 & 0 &1 &255 &3025 &7770 &\underline{6951} &2646 &462 &36 &1 \\
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\end{tabular}
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\begin{eqnarray*}
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\begin{eqnarray*}
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S_{n,k} &=& S_{n-1,k-1} + k * S_{n-1,k} \text{ mit} \\
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S_{n,k} &=& S_{n-1,k-1} + k * S_{n-1,k} \text{ mit} \\
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S_{0,0} &=& 1 \\
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S_{0,0} &=& 1 \\
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 2.2}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Zyklenzerlegung: $(1\ 2\ 4) (3) (5\ 9) (6) (7\ 8)$
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2 Fixpunkte: $3$ und $6$
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\item
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\begin{eqnarray*}
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s_{n.k} &=& s_{n-1,k-1} + (n-1)s_{n-1,k} \text{ mit} \\
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s_{0,0} &=& 1 \\
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s_{n,0} &=& 0 \\
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s_{n,n} &=& 1 \\\\
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s_{9,5} &=& 22449
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 2.3}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item
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\begin{eqnarray*}
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x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 &=& 67 \text{ mit } x_i \ge 0 \text{ für } 1 \le i \le 6 \\
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\text{Normalisierung:} \\
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\text{für } 1 \le i \le 3 \rightarrow x_i' &=& x_i - 1 \text{ (ungerade Zahlen werden gerade)} \\
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\text{für } 4 \le i \le 6 \rightarrow x_i' &=& x_i \\
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\Rightarrow x_1' + x_2' + x_3' + x_4' + x_5' + x_6' &=& 64 \\
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\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow y_i &=& \frac{x_i'}{2}
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\text{ (Bedingung \enquote{alle Zahlen gerade} erfüllt)} \\
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\Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 &=& 32 \\
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\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow z_i &=& y_i + 1 \\
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\Rightarrow z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + y_6 &=& 38 \\\\
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\Rightarrow \binom{n-1}{k-1} &=& \binom{37}{5} = 435897
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\end{eqnarray*}
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\item
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\begin{eqnarray*}
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P_{n,k} &=& P_{n-1,k-1} + P_{n-k,k} \text{ mit} \\
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P_{n.0} &=& 0 \\
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P_{n.n} &=& 1 \\
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P_{n.1} &=& 1 \\\\
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P_{10,4} &=& 9
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 2.4}
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\begin{itemize}
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\item Nur Schritte nach rechts oder oben sind erlaubt
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\item Insgesamt $n$ Schritte nach oben und $k$ Schritte nach rechts
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\item $\Rightarrow \frac{(n + k)!}{n! k!} = \binom{n + k}{k}$
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\end{itemize}
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\end{document}
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\end{document}
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73
school/di-ma/uebung/02/02_2.tex
Normal file
73
school/di-ma/uebung/02/02_2.tex
Normal file
@ -0,0 +1,73 @@
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \uebung {2} %
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 2.2}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Zyklenzerlegung: $(1\ 2\ 4) (3) (5\ 9) (6) (7\ 8)$
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2 Fixpunkte: $3$ und $6$
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\item
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\begin{tabular}{c|cccccccccc}
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$n / k$ & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\\hline
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0 & 1 &&&&&&&&& \\
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1 & 0 & 1 &&&&&&&& \\
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2 & 0 & 1 &1&&&&&&& \\
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3 & 0 & 2 & 3 & 1 & & & & & & \\
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4 & 0 & 6 & 11 & 6 & 1 & & & & & \\
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5 & 0 & 24 & 50 & 35 & 10 & 1 & & & & \\
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6 & 0 & 120 & 274 & 225 & 85 & 15 & 1 & & & \\
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7 & 0 & 720 & 1764 & 1624 & 735 & 175 & 21 & 1 & & \\
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8 & 0 & 5040 & 13068 & 13132 & 6769 & 1960 & 322 & 28 & 1 & \\
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9 & 0 & 40320 & 109584 & 118124 & 67284 & \underline{22449} & 4536 & 546 & 36 & 1 \\
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\end{tabular}
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\begin{eqnarray*}
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s_{n.k} &=& s_{n-1,k-1} + (n-1)s_{n-1,k} \text{ mit} \\
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s_{0,0} &=& 1 \\
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|
s_{n,0} &=& 0 \\
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|
s_{n,n} &=& 1 \\\\
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|
s_{9,5} &=& 22449
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|
\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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84
school/di-ma/uebung/02/02_3.tex
Normal file
84
school/di-ma/uebung/02/02_3.tex
Normal file
@ -0,0 +1,84 @@
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \uebung {2} %
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\vspace*{-2cm}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 2.3}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item
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\begin{eqnarray*}
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x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 &=& 67 \text{ mit } x_i \ge 0 \text{ für } 1 \le i \le 6 \\
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\text{Normalisierung:} \\
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\text{für } 1 \le i \le 3 \rightarrow x_i' &=& x_i - 1 \text{ (ungerade Zahlen werden gerade)} \\
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\text{für } 4 \le i \le 6 \rightarrow x_i' &=& x_i \\
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\Rightarrow x_1' + x_2' + x_3' + x_4' + x_5' + x_6' &=& 64 \\
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\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow y_i &=& \frac{x_i'}{2}
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\text{ (Bedingung \enquote{alle Zahlen gerade} erfüllt)} \\
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\Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 &=& 32 \\
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\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow z_i &=& y_i + 1 \\
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\Rightarrow z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + y_6 &=& 38 \\\\
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\Rightarrow \binom{n-1}{k-1} &=& \binom{37}{5} = 435897
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\end{eqnarray*}
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\item
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\begin{tabular}{c|cccccccccc}
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$n/k$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
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1 & 1 & & & & & & & & & \\
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2 & 1 & 1 & & & & & & & & \\
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3 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & \\
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4 & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & \\
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5 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & \\
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6 & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & \\
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7 & 1 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & \\
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8 & 1 & 4 & 5 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & & \\
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9 & 1 & 4 & 7 & 6 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & \\
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10 & 1 & 5 & 8 & \underline{9} &7 &5 &3 &2 & 1 & 1 \\
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\end{tabular}
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\begin{eqnarray*}
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P_{n,k} &=& P_{n-1,k-1} + P_{n-k,k} \text{ mit} \\
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P_{n.0} &=& 0 \\
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P_{n.n} &=& 1 \\
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P_{n.1} &=& 1 \\\\
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P_{10,4} &=& 9
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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53
school/di-ma/uebung/02/02_4.tex
Normal file
53
school/di-ma/uebung/02/02_4.tex
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@ -0,0 +1,53 @@
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \uebung {2} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 2.4}
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\begin{itemize}
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\item Nur Schritte nach rechts oder oben sind erlaubt
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\item Insgesamt $n$ Schritte nach oben und $k$ Schritte nach rechts
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\item $\Rightarrow \frac{(n + k)!}{n! k!} = \binom{n + k}{k}$
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\end{itemize}
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\end{document}
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