diff --git a/school/di-ma/uebung/01/01_1.tex b/school/di-ma/uebung/01/01_1.tex new file mode 100644 index 0000000..4794129 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/01/01_1.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {Mi 10-12 (Andre)} +\def \uebung {1} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 1.1} +\begin{enumerate}[(a)] + \item + \begin{itemize} + \item Induktionsanfang: + \begin{eqnarray*} + H(n) = 2^n - 1 \\ + n = 0 \Rightarrow 2^0 - 1 = 0 \\ + n = 1 \Rightarrow 2^1 - 1 = 0 \\ + n = 2 \Rightarrow 2^2 - 1 = 0 + \end{eqnarray*} + \item Induktionsvoraussetzung: + + $H(n) = 2^n - 1$ mit $n \in \mathbb{N}$ + + \item Induktionsbehauptung: + + Zu zeigen, dass IV auf f\"ur $(n+1)$ gilt. + + \item Induktionsschritt: + + Algorithmus f\"ur $(n+1)$: + \begin{itemize} + \item $n$ Scheiben auf Hilfsstab legen ($2^n - 1$ Z\"uge) + \item $n+1$-te Scheibe auf Zielstab legen ($1$ Zug) + \item $n$ Scheiben von Hilfsstab auf Zielstab legen ($2^n - 1$ Z\"uge) + \end{itemize} + + \begin{eqnarray*} + H(n+1) &=& (2^n - 1) + 1 + (2^n - 1) \\ + &=& 2^n + 2^n - 1 \\ + &=& 2^{n+1} - 1 + \end{eqnarray*} + \end{itemize} + + \item + \begin{eqnarray*} + \frac{2^{64} - 1}{60 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365} = 5,850 \cdot 10^{11} \approx 585\text{ Milliarden Jahre} + \end{eqnarray*} + +\end{enumerate} +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/01/01_2.tex b/school/di-ma/uebung/01/01_2.tex new file mode 100644 index 0000000..6ba0a7e --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/01/01_2.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {Mi 10-12 (Andre)} +\def \uebung {1} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 1.2} +\begin{enumerate}[(1)] + \item + \begin{eqnarray*} + \binom{16}{8} \cdot \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot 2! &=& 64864800 + \end{eqnarray*} + + \item + \begin{itemize} + \item Figuren werden farblich unterschieden + \begin{eqnarray*} + \binom{64}{8} \cdot \binom{56}{8} \cdot \binom{42}{2} \cdot \binom{40}{2} \cdot \binom{38}{2} \cdot + \binom{36}{2} \cdot \binom{34}{2} \cdot \binom{32}{2} \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 = \\ + = 342252222360871944253577108738801126400000 \\ + = 3.4 \cdot 10^{41} + \end{eqnarray*} + + \item Figuren werden farblich nicht unterschieden + \begin{eqnarray*} + \binom{64}{16} \cdot \binom{42}{4} \cdot \binom{38}{4} \cdot \binom{34}{4} \cdot \binom{30}{2} \cdot + \binom{28}{2} &=& + 30778963276000023764494761426480000 \\ + &=& 3.1 \cdot 10^{34} + \end{eqnarray*} + \end{itemize} + +\end{enumerate} +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/01/01_3.tex b/school/di-ma/uebung/01/01_3.tex new file mode 100644 index 0000000..c8b4cd2 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/01/01_3.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {Mi 10-12 (Andre)} +\def \uebung {1} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 1.3} +\begin{enumerate}[(1)] + \item + $2^n$ beschreibt die Potenzmenge, also die Anzahl aller m\"oglichen Teilmengen einer Menge mit $n$ Elementen. + + $\binom{n}{k}$ beschreibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge. + $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ beschreibt also alle m\"oglichen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge. + + $\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ + + \item + $A_n$: Menge aller durch $n$ teilbaren Zahlen $\leq 100$ + + $M = \{1,\ldots,100\}, |M| = 100$ + + \begin{eqnarray*} + |A_2 \cup A_3 \cup A_5 \cup A_7 | &=& |A_2| + |A_3| + |A_5| + |A_7| \\ + && - |A_2 \cap A_3| - |A_2 \cap A_5| - |A_2 \cap A_7| - |A_3 \cap A_5| - + |A_3 \cap A_7| - |A_5 \cap A_7| \\ + &&+ |A_2 \cap A_3 \cap A_5| + |A_2 \cap A_3 \cap A_7| + + |A_2 \cap A_5 \cap A_7| + |A_3 \cap A_5 \cap A_7| \\ + &&- |A_2 \cap A_3 \cap A_5 \cap A_7| \\ + &=& 50 + 33 +20 +14 -16 -10 -7 -6 -4 -2 + 3 + 2 + 1 + 1 - 1 \\ + &=& 78 + \end{eqnarray*} + 78 Zahlen, die durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind, dabei sind 2, 3, 5 und 7 mitgez\"ahlt $\Rightarrow 78 - 4 = + 74$ nicht-Primzahlen $\leq 100$. + + \begin{eqnarray*} + \Rightarrow \overline{|A_2 \cup A_3 \cup A_5 \cup A_7|} &=& |\bar{A_2} \cap \bar{A_3} \cap \bar{A_5} \cap + \bar{A_7}| \\ + &=& |M \setminus (A_2 \cup A_3 \cup A_5 \cup A_7)| \\ + &=& |M| - |A_2 \cup A_3 \cup A_5 \cup A_7| \\ + &=& 100 - 77 \\ + &=& 26 + \end{eqnarray*} + + Da Primzahlen $\geq 2$ sind und bis jetzt die 1 mitgez\"ahlt wurde: $\Rightarrow 26 - 1 = 25$. + +\end{enumerate} +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/01/01_4.tex b/school/di-ma/uebung/01/01_4.tex new file mode 100644 index 0000000..2869ee2 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/01/01_4.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {Mi 10-12 (Andre)} +\def \uebung {1} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 1.4} +\begin{enumerate}[(1)] + \item + \begin{eqnarray*} + a &=& 200 cm\\ + b &=& 80 cm \\ + A &=& 200cm \cdot 80cm = 16000cm^2 + \end{eqnarray*} + + Das Rechteck wird in 49 Einheitsquadrate aufgeteilt: $\frac{16000cm^2}{49} = 326,53cm^2$. Die Fl\"ache jedes + einzelnen Quadrats betr\"agt also $326,53 cm^2$. Die Seitenl\"ange $j$ der Einheitsquadrate betr\"agt + + \begin{eqnarray*} + j^2 &=& 326,53 cm^2 \\ + j &=& \sqrt{326,53} cm \\ + j &=& 18,07 cm + \end{eqnarray*} + + Die Diagonale $d$ eines Einheitsquadrats beträgt + + \begin{eqnarray*} + d &=& \sqrt{j^2 + j^2} \\ + &=& \sqrt{18,07^2 + 18,07^2} \\ + &=& 25,56 cm + \end{eqnarray*} + + Da die weiteste Entfernung innerhalb der 49 Einheitsquadrate nur 25,56 cm beträgt, muss auch ein 50. Dolch + maximal 30 cm von einem der Anderen Dolche entfernt sein. + + \item $\binom{49}{6} = 13983816$ mögliche Kombinationen beim wählen von 6 aus 49 Zahlen + + $\frac{21000000}{13983816} = 1,50174$, also $\geq 2$ + + $\Rightarrow$ Die häufigste Zahlenkombination wird mindestens 2 mal gewählt. +\end{enumerate} +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/template.tex b/school/di-ma/uebung/template.tex new file mode 100644 index 0000000..a989ca3 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/template.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Vorname1 Nachname1} % +\def \matrikel {Matrikelnummer1} % +\def \pname {Vorname2 Nachname2} % +\def \pmatrikel {Matrikelnummer2} % +\def \gruppe {Gruppenkuerzel} % +\def \uebung {1} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + + +\section*{Aufgabe 1} +\begin{enumerate}[(a)] +\item Beispielantwort +\item Hier k\"onnte deine Antwort auf diese Teilaufgabe stehen. +\item Für das Beispiel gilt $b_1=2^4+1=17=(10001)_2$ und $b_2=2^4-1=15=(1111)_2$. +\end{enumerate} + +\section*{Aufgabe 2} +Notation von mathematischen L\"osungen: +\begin{eqnarray*} +r_{0} &=& \beta^{K_{X}} \bmod n\\ +r_{1} &=& \alpha^{K_{X}+1} = \alpha \cdot \alpha^{K_{n}} = \alpha \cdot r_{1} \bmod p\\ +r_{2} &=& (a_{1}-d \cdot q_{1}) \cdot z_{E}^{-1} \bmod p-1 \Leftrightarrow d = (x_{1}-s_{1} \cdot o_{E}) \cdot r_{1}^{-1} \bmod p-1\\ +\end{eqnarray*} + +\section*{Aufgabe 3} +\begin{center} +\begin{tabular}{|c|c|c|c|} +\hline +Tabellenzeile & Tabellenzeile & Tabellenzeile & Tabellenzeile \\ +\hline +e & f & g & h \\ +\hline +i & j & k & l \\ +\hline +m & n & o & p \\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +\end{document} +