From 28711af67ec1f4878809f3dfb4a59267c4e8b231 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Valentin Brandl Date: Wed, 17 Oct 2018 21:36:35 +0200 Subject: [PATCH] Add lesson --- .../20181016_1-kombinatorische_prinzipien.md | 186 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 186 insertions(+) create mode 100644 school/di-ma/20181016_1-kombinatorische_prinzipien.md diff --git a/school/di-ma/20181016_1-kombinatorische_prinzipien.md b/school/di-ma/20181016_1-kombinatorische_prinzipien.md new file mode 100644 index 0000000..b020daa --- /dev/null +++ b/school/di-ma/20181016_1-kombinatorische_prinzipien.md @@ -0,0 +1,186 @@ +--- +title: Kombinatorische Prinzipien +date: 2018-10-16 +--- + +# Inklusion-Exklusion-Prinzip (Verallgemeinerung der Summenformel) + +**Gegeben**: $S_1, ... S_n$ *paarweise disjunkte* Mengen, dann gilt + +$$ +\vert \bigcup\limits_{i=1}^n S_i \vert = \sum\limits_{i=1}^n \vert S_i \vert +$$ + +Warum? Jedes Element der Vereinigung liegt in genau einer Teilmenge. + +**Frage**: Was passiert, falls $S_i$ nicht disjunkt sind? + +**Beispiel**: $n=2$, zwei endliche Mengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$ + +> Hier könnte Ihr Venn Diagramm stehen (zwei sich schneidende Mengen) + +Dann gilt + +$$ +\vert A_1 \cup A_2 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert - \vert A_1 \cap A_2 \vert +$$ + +Wir müssen die Größe des Schnittes abziehen, da diese Elemente doppelt gezählt werden. + +**Beispiel**: $n=3$, $A_1, A_2, A_3$ endliche Mengen + +> Hier könnte wieder ein Venn Diagramm stehen (drei sich schneidende Meingen) + +Dann gilt + +$$ +\vert A_1 \cup A_2 \cup A_3 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert + \vert A_3 \vert - \vert A_1 \cap A_2 \vert - + \vert A_1 \cap A_3 \vert - \vert A_2 \cap A_3 \vert + \vert A_1 \cap A_2 \cap A_3 \vert +$$ + +Allgemein gilt: + +## **Satz**: (Inklusion-Exklusion-Prinzip, Siebformel) + +Seien $A_1, ... A_n$ endliche mengen, dann gilt: + +$$ +\vert \bigcup\limits_{i=2}^n A_i \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} + \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert +$$ +$$ +\tag*{$\Box$} +$$ + +**Beispiel**: $n=2$ anhand der Formel + +$$ +\vert \bigcup\limits_{i=1}^2 A_i \vert = \vert A_1 \cup A_2 \vert =\\ += \sum\limits_{r=1}^2 (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} + \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert \\ += (-1)^0 (\vert \bigcap\limits_{i \in \{1\}} A_i \vert + \vert \bigcap\limits_{i \in \{2\}} A_i \vert) + + (-1)^1 (\vert \bigcap\limits_{i \in \{1,2\}} A_i \vert) \\ += (\vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert) - \vert A_1 \cap A_2 \vert +$$ + +## Beweis + +Sei $a \in \bigcup\limits_{i=1}^n$. Wir müssen zeigen, dass dieses Element $a$ auf der rechten Seite der Gleichung +insgesamt einmal gezählt wird. Ohne Einschränkung sei +$$ +a \in A_i \text{ für } i \in \{1,...t\} +$$ +dann gilt für $I \subseteq \{1,...n\}$ + +$$ +a \in \bigcap\limits_{i \in I} A_i \text{ genau dann, wenn } I \subseteq \{1,...t\} +$$ + +Damit folgt: $a$ wird auf der rechten Seite + +$$ +\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...t\}\\\vert I \vert = r}} 1 +$$ + +mal gezählt. Es gilt + +$$ +\sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...t\}\\\vert I \vert = r}} 1 = \binom{t}{r} +$$ + +und damit + +$$ +\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \binom{t}{r} = \sum\limits_{r=1}^t (-1)^{1-r} \binom{t}{r} +$$ + +Es gilt weiterhin + +$$ +0 = (-1+1)^t = \sum\limits_{r=0}^t \binom{t}{r} (-1)^r (1)^{t-r} = \\ += 1 + \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^r \\ += 1 - \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^{r-1} \\ +\Rightarrow \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^{r-1} = 1 +$$ +$$ +\tag*{$\Box$} +$$ + +**Beispiel**: + +1. **Frage**: Wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch 2 oder 3 oder 5 teilbar? + + Sei $A_k = \{x \in \{1,...100\} \mid k \text{ teilt } x \}$, dann gilt + $\vert A_k \vert = \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor$ und + + $$ + A_k \cap A_l = A_{\text{kgV}(k,l)} + $$ + + Wir müssen $\vert A_2 \cup A_3 \cup A_5 \vert$ bestimmen. Nach Formel + + $$ + \vert A_2 \cup A_3 \cup A_5 \vert = \\ + \vert A_2 \vert + \vert A_3 \vert + \vert A_5 \vert + - \vert A_2 \cap A_3 \vert - \vert A_2 \cap A_5 \vert - \vert A_3 \cap A_5 \vert + + \vert A_2 \cap A_3 \cap A_5 \vert =\\ + = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = \\ + = 74 + $$ + +2. **Frage**: Wie viele Permutationen $\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\}$ gibt es, die keinen Fixpunkt haben, d.h. + $\forall x \in \{1,...n\}$ gilt $\pi(x) \neq x$? + + Wir zählen stattdessen die Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Wir definieren + $A_i = \{\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\} \mid \pi(i) = i \}$ für $i \in \{1,...n\}$, d.h. $A_i$ ist die Menge aller + Permutationen mit Fixpunkt $i$. + + Die Menge aller Permutationen mit mindestens einem Fixpunkt ist $E_n = \bigcup_{i=1}^n A_i$ und es gilt + + $$ + \vert E_n \vert = \vert \bigcup\limits_{i=1}^n A_i \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} + \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert + $$ + + Permutationen in $\vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert$ für $I \subseteq \{1,...n\}$ mit $\vert I \vert = r$ + haben $r$ Fixpunkte in $i \in I$. Davon gibt es $(n-r)!$ viele Permutationen (Fixpunkte fest; für den ersten + nicht-Fixpunkt $(n-r)$ Möglichkeiten, für den zweiten nicht-Fixpunkt $(n-r-1)$ Möglichkeiten, ...). Damit folgt + + $$ + \vert E_n \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} + (n-r)! = \\ + = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} (n-r)! \binom{n}{r} \\ + = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \frac{n!}{r!} = n! \left (\sum\limits_{r=1}^n \frac{(-1)^{r-1}}{r!} \right ) + $$ + + Sei $D_n$ die Menge der Permutationen, die keinen Fixpunkt haben, dann gilt + + $$ + \vert D_n \vert = n! - \vert E_n \vert = n! \left ( 1 - \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \frac{1}{r!} \right ) = \\ + = n! \left ( 1 + \sum\limits_{r=1}^n (-1)^r \frac{1}{r!} \right ) = \\ + = n! \left ( \sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} \right ) + $$ + +$\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Permutation keinen Fixpunkt hat. + +$$ +n \to \infty \\ +\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} \to e^{-1} +$$ + + +# Doppeltes Abzählen + +Seien $S, T$ endliche Mengen und $R \subseteq S \times T$, dann gilt + +$$ +|R| = \sum\limits_{t \in T} | \{s\in S \mid (s,t) \in R\} | = \text{ "Zeilensumme"} \\ +\sum\limits_{s\in S} |\{t\in T \mid (s,t) \in R\} | \text{ "Spaltensumme"} +$$ + +**Beispiel**: Gegeben seien eine $(n \times m)$ Matrix $M = (a_{ij})$ mit $a_{ij} \in \mathbb{N}$, dann kann man die +Summe aller Einträge berechnen als +$$ +\sum\limits_{i=1}^m \left ( \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} \right ) = +\sum\limits_{j=1}^n \left ( \sum\limits_{i=1}^m a_{ij} \right ) +$$