Add solution for dima 7.2 and 7.4

school/di-ma/uebung/07/07_2.tex

@@ -0,0 +1,101 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {7}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 7.2}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_1.png}
+
+        \begin{itemize}
+            \item Eulertour: $(1, 2, 3, 1)$
+            \item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 1)$
+        \end{itemize}
+
+    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_2.png}
+
+        \begin{itemize}
+            \item Eulertour: $(1,2,3,4,5,3,1)$
+            \item Kein Hamiltonkreis: (Widerspruchsbeweis)
+
+                G sei hamiltonsch. Aufgrund der Symmetrie gibt es nur 2 Mögliche Startknoten für einen Hamiltonkreis:
+                Der mittlere Knoten ($3$) oder einer der 4 äußeren Knoten ($1,2,4,5$).
+
+                \begin{enumerate}[1.]
+                    \item Fall: Starten bei Knoten $3$
+
+                        Aufgrund der Symmetrie sind alle möglichen Wege von hier aus äquivalent. Nach $(3,1,2)$ ist es
+                        unmöglich, die restlichen Knoten des Graphen zu besuchen, ohne $3$ erneut zu besuchen.
+
+                        $\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning
+
+                    \item Fall: Starten bei Knoten $1$ (oder äquivalent $2,4,5$)
+
+                        Der einzige Weg, um die gegenüberliegenden Knoten ($4,5$) zu erreichen, führt über $3$. Um einen
+                        Kreis zu bilden, muss man aber wieder zurück zu $1$ laufen. Dieser Weg führt erneut über $3$,
+                        $3$ wird also doppelt durchlaufen
+
+                        $\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning
+                \end{enumerate}
+
+                $\Rightarrow$ G ist nicht hamiltonsch
+
+        \end{itemize}
+
+    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_3.png}
+
+        \begin{itemize}
+            \item Keine Eulertour, da $deg(1) = deg(4) = 3$ ist nicht gerade
+            \item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 4, 1)$
+        \end{itemize}
+
+    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_4.png}
+
+        Graph ist nicht zusammenhängend, daher ist die Grundvoraussetzung für \enquote{eulersch} und
+        \enquote{hamiltonsch} nicht gegeben $\Rightarrow$ nicht eulersch und nicht hamiltonsch
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/07/07_2_1.dot

@@ -0,0 +1,12 @@
+graph {
+    node [ shape="circle" ]
+    {
+        rank=same;
+        1;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        2; 3;
+    }
+    1 -- 2 -- 3 -- 1;
+}

school/di-ma/uebung/07/07_2_2.dot

@@ -0,0 +1,17 @@
+graph {
+    node [ shape="circle" ]
+    {
+        rank=same;
+        1; 2;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        3;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        4; 5;
+    }
+    1 -- 2 -- 3 -- 1;
+    3 -- 4 -- 5 -- 3;
+}

school/di-ma/uebung/07/07_2_3.dot

@@ -0,0 +1,16 @@
+graph {
+    node [ shape="circle" ]
+    {
+        rank=same;
+        1; 2;
+        1 -- 2;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        3; 4;
+        3 -- 4;
+    }
+    1 -- 3;
+    2 -- 4;
+    1 -- 4;
+}

school/di-ma/uebung/07/07_2_4.dot

@@ -0,0 +1,5 @@
+graph {
+    node [ shape="circle" ]
+    1;
+    2;
+}

school/di-ma/uebung/07/07_4.tex

@@ -0,0 +1,85 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {7}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 7.4}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Sei $G = (V, E)$ ein Graph mit $|V| = 7$ und $|E| = 16$
+
+        Ein Graph ist planar, falls $|E| \leq 3 |V| - 6$
+
+        $16 \geq 3 * 7 - 6 = 15 \Rightarrow G$ ist nicht planar
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics[width=\textwidth]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_1.jpg}
+            \caption{Planarer Graph $G=(V,E)$ mit $|V| = 7$ und $|E| = 15$}
+        \end{figure}
+
+    \item Ein Teilgraph von $G$ lässt sich folgendermaßen Zeichnen (Abbildung \ref{TG}):
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2a.jpg}
+            \caption{Teilgraph von G}
+            \label{TG}
+        \end{figure}
+
+        Nach entfernen der Unterteilungen durch die Konten $3,6,7$ und $9$, erhält man folgenden Graphen (Abbildung
+        \ref{TGU}):
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2b.jpg}
+            \caption{Teilgraph von G nach entfernen der Unterteilungen}
+            \label{TGU}
+        \end{figure}
+
+        Dieser Graph ist $K_5$. Damit wurde gezeigt, dass $G$ den Graphen $K_5$ enthält. $K_5$ ist nicht planar und
+        damit ist auch jeder Graph, der $K_5$ enthält, nicht planar.
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}