Add stuff

school/di-ma/uebung/07/07_1.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {7}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 7.1}
+
+Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Mit $G^c := (V,(\frac{V}{2})\setminus E )$ bezeichnen wir den zu G komplementären Graphen. In Hausübung 6.3 wurde definiert, wann ein Graph asymmetrisch ist.	Zeige: G ist asymmetrisch $\Leftrightarrow G^c$ ist asymmetrisch\\
+\\
+\noindent		
+Definition Asymmetrisch:\\
+Sei $G = (V,E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Automorphismus von G ist ein Isomorphismus
+von G auf sich selbst, d.h. eine Bijektion $f : V \rightarrow V$ , so dass $\{u,v\} \in E$ genau dann, wenn
+$\{f(u),f(v)\}g \in E$. Ein Graph heißt genau dann asymmetrisch, wenn die Identität der einzige
+Automorphismus ist.\\
+\\
+\noindent
+\textbf{BEWEIS:}\\
+Seien $G=(V_1,E_1)$ und $G^c=(V_2,E_2)$ zwei Graphen, wobei $G^c$ der Komplementgraph von G ist.\\
+\\
+\noindent
+G hat einen Automorphismus f.\\
+$\Leftrightarrow$\\
+Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_1$ (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt).\\
+$\Leftrightarrow$\\
+Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_1$  (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
+$\Leftrightarrow$ (*)(**)\\
+Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_2$  (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
+$\Leftrightarrow$\\
+Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_2$  (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
+$\Leftrightarrow$\\
+$G^c$ hat einen Automorphismus f.\\
+\\
+\noindent
+G asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von G und somit auch von $G^c$.
+$G^c$ kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf G bildet.\\
+\\
+$G^c$ asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von $G^c$ und somit auch von G.
+G kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf $G^c$ bildet.\\
+\\
+(*) $\{(u,v)\}$ Kante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Nichtkante in $G^c$\\
+(**) $\{(u,v)\}$ Nichtkante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Kante in $G^c$
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/07/07_3.tex

@@ -67,10 +67,22 @@
 
                 Hamiltonkreis: $(1,3,4,8,10,9,7,5,6,1)$
 
+                \begin{figure}[h!]
+                \centering
+                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{school/di-ma/uebung/07/07_3_b_1.jpg}
+                \caption{Entfernen eines inneren Knoten}
+                \end{figure}
+
             \item Entefernen eines äußeren Knoten ($1$):
 
                 Hamiltonkreis: $(2,7,9,3,4,5,6,10,8,2)$
 
+                \begin{figure}[h!]
+                \centering
+                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{school/di-ma/uebung/07/07_3_b_2.jpg}
+                \caption{Entfernen eines äußeren Knoten}
+                \end{figure}
+
         \end{enumerate}
 
         Für alle (unterscheidbaren) Möglichkeiten, einen Knoten zu entfernen, wurde gezeigt, dass es einen

school/di-ma/uebung/07/07_3_i.dot

@@ -1,26 +0,0 @@
-graph {
-    node [ shape=point ];
-    1 [ xlabel="1" ];
-    {
-        rank="same";
-        2 [ xlabel="2" ];
-    }
-    1 -- 2;
-
-    {
-        rank="same";
-        3 [ xlabel="3" ];
-        4 [ xlabel="4" ];
-        5 [ xlabel="5" ];
-        6 [ xlabel="6" ];
-    }
-    1 -- 3;
-    1 -- 6;
-    3 -- 4;
-    5 -- 6;
-
-    7 [ xlabel="7" ];
-    8 [ xlabel="8" ];
-    9 [ xlabel="9" ];
-    10 [ xlabel="10" ];
-}