diff --git a/school/intro-crypto/uebung/07/07.tex b/school/intro-crypto/uebung/07/07.tex new file mode 100644 index 0000000..2fdfde3 --- /dev/null +++ b/school/intro-crypto/uebung/07/07.tex @@ -0,0 +1,245 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{pifont} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{delarray} +% \usepackage{minted} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{longtable} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +\graphicspath{.} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +% \def \pname {Vorname2 Nachname2} % +% \def \pmatrikel {Matrikelnummer2} % +\def \gruppe {Gruppe 193} % +\def \uebung {7} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\ +% \noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% +\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% +\newcommand{\csquare}{\text{\rlap{$\checkmark$}}\square}% + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 1} + +$P(x) = x^4 + x + 1$ und $grad(P(X)) = 4$ + +\begin{enumerate}[a)] + + \item $GF(2) = GF(2^1)$. Maximaler Grad von $G(p^m)$ ist $(m-1)$, maximaler Grad von $GF(2^1)$ ist also $1-1=0$, es + sind also nur die polynome $a_1(x) = 0$ und $a_2(x) = 1$ möglich. Beide haben einen Grad $< 4$, also gibt es $2$ + Polynome in $GF(2)$, deren Grad kleiner ist, als $grad(P(x))$. + + \item $GF(p^n)$: Alle $a_i$ des Polynoms sind Elemente der Menge $A = \{0,1,...,p-1\} \Rightarrow |A| = p$. Jedes + Polynom besteht aus $n$ Koeffizienten, daher hat hat $GF(p^n)$ genau $p^n$ mögliche Polynome. Da der Grad der + Polynome $< 4$ sein soll, muss $n$ also $\leq 4$ sein. Abhängig von $p$ sind also $4$ mögliche Werte für $n$ + denkbar, sodass der Grad $< 4$ bleibt + + \begin{tabular}{|c|c|} + \hline + $n$ & \# Polynome \\\hline + 1 & $p$ \\\hline + 2 & $p^2$ \\\hline + 3 & $p^3$ \\\hline + 4 & $p^4$ \\\hline + \end{tabular} + +\end{enumerate} + + +\section*{Aufgabe 2} + +\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $\cdot$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline\hline + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline + 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline + 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 5 & 7 & 1 & 3 \\\hline + 3 & 0 & 3 & 6 & 5 & 1 & 2 & 7 & 4 \\\hline + 4 & 0 & 4 & 5 & 1 & 7 & 3 & 2 & 5 \\\hline + 5 & 0 & 5 & 7 & 2 & 3 & 6 & 4 & 3 \\\hline + 6 & 0 & 6 & 1 & 7 & 2 & 4 & 6 & 5 \\\hline + 7 & 0 & 7 & 3 & 4 & 5 & 3 & 5 & 2 \\\hline +\end{tabular} + + +\section*{Aufgabe 3} + +$P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1$ + +\begin{enumerate}[a)] + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + x + 1 \\ + B(x) &= x^2 + x \\ + A(x) * B(x) &= x^9+x^7+x^5+x^4+x \equiv x^7+x^2+1 &\mod P(x) \\ + &= 0x85 + \end{align*} + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^4 + x^2 + x + 1 \\ + B(x) &= x^4 + 1 \\ + A(x) * B(x) &= x^8 + x^6 + x^5 + x^2 + x + 1 \equiv x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 &\mod P(x) \\ + &= 0x7C + \end{align*} + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^6 + x^5 + x^2 + x \\ + B(x) &= x^2 + x + 1 \\ + A(x) * B(x) &= x^5 + x^4 + x &\mod P(x) \\ + &= 0x32 + \end{align*} + +\end{enumerate} + + +\section*{Aufgabe 4} + +Die multiplikativen Inversen wurden aus der Tabelle 4.2 im Buch abgelesen. + +$P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1$ + +\begin{enumerate}[a)] + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 \\ + B(x) &= x^5 + x^2 + 1 \widehat{=} 0x25 \\ + B^{-1}(x) &= 0x4D \widehat{=} x^6 + x^3 + x^2 + 1 \\ + A(x) \div B(x) &= A(x) * B^{-1}(x) = \\ + &= x^{11} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^5 + x^3 \equiv x^5 + x^3 + x &\mod P(x) \\ + &\widehat{=} 0x2A + \end{align*} + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^7 + x^2 + x + 1 \\ + B(x) &= x^6 + x^4 + x^3 + x^2 \widehat{=} 0x5C \\ + B^{-1}(x) &= 0x51 \widehat{=} x^6 + x^4 + 1 \\ + A(x) \div B(x) &= A(x) * B^{-1}(x) = \\ + &= x^{13} + x^{11} + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 \equiv x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 &\mod + P(x) \\ + &\widehat{=} 0xB9 + \end{align*} + +\end{enumerate} + + +\section*{Aufgabe 5} + +$P(x) = x^4 + x^2 + 3x + 5$ + +\begin{enumerate}[a)] + + \item + \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $+$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline\hline + 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 6 \\\hline + 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\\hline + 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\\hline + 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\\hline + 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline + 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline + 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline + \end{tabular} + + \item + \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} + \hline + $\cdot$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline + 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline + 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\\hline + 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\\hline + 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\\hline + 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\\hline + 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\hline + \end{tabular} + + \item + \begin{enumerate}[i)] + \item + \begin{align*} + A(x) &= 3x^2 + x + 2 \\ + B(x) &= 6x^4 + 4x^2 + 3x + 5 \\ + A(x) + B(x) &= 6x^4 + 4x &\mod P(x) + \end{align*} + + \item Nein, da $A(x) + B(x)$ auch ohne die Moduloreduktion keinen Koeffizienten mit einem Grad $> 6$ hat + \end{enumerate} + + \item + \begin{enumerate}[i)] + \item + \begin{align*} + A(x) &= 3x^3 + x + 2 \\ + B(x) &= 6x^3 + 4x^2 + 3x + 5 \\ + A(x) - B(x) &= 4x^3 + 3x^2 + 5x + 4 &\mod P(x) + \end{align*} + + \item Nein, da $A(x) - B(x)$ auch ohne die Moduloreduktion keinen Koeffizienten mit einem Grad $> 6$ hat + \end{enumerate} + + \item + \begin{enumerate}[i)] + \item + \begin{align*} + A(x) &= 5x^4 + x + 2 \\ + B(x) &= 3x^3 + 5x^2 + 4 \\ + A(x) * B(x) &= x^7 + 4x^6 + 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 4x + 1 &\mod P(x) \\ + &\equiv 2x^3 + 5x^2 + 3x + 5 &\mod P(x) + \end{align*} + + \item + \begin{align*} + A(x) &= x^3 + 2x + 4 \\ + B(x) &= 4x^4 + 6x^3 + 3 \\ + A(x) * B(x) &= 4x^7 + 6x^6 + 6x^5 + 6x^3 + 6x + 5 &\mod P(x) \\ + &\equiv x^3 + 3x^2 + x + 4 &\mod P(x) + \end{align*} + \end{enumerate} + + \item + \begin{align*} + x^4 &\equiv 6x^2 + 4x + 2 &\mod P(x) \\ + x^5 &\equiv 6x^3 + 4x^2 + 2x &\mod P(x) \\ + x^6 &\equiv 4x^3 + x^2 + 5x + 5 &\mod P(x) \\ + x^7 &\equiv 3x^3 + 6x^2 + 1 &\mod P(x) \\ + \end{align*} + +\end{enumerate} + + +\end{document} +