diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_1.tex b/school/di-ma/uebung/08/08_1.tex new file mode 100644 index 0000000..2fed141 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_1.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\usepackage{tikz} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \uebung {8} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 8.1} + +Sei $H_d$ der $d$-dimensionale Hyperwürfel. + +\begin{itemize} + + \item IA: $H_1$ und $H_2$ sind hamiltonsch: + + \begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.png} + \caption{$H_1$ mit Hamiltonkreis $(0,1,0)$} + \end{figure} + + \begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.png} + \caption{$H_2$ mit Hamiltonkreis $(00,01,11,10,00)$} + \end{figure} + + \item Zu zeigen: Wenn $H_d$ hamiltonsch ist, ist auch $H_{d+1}$ hamiltonsch. + + \item Jeder weitere Hyperwürfel $H_{d+1}$ entsteht, indem man zwei mal $H_d$ nimmt und an jeden Knoten in der + ersten Kopie eine $0$ und an jeden Knoten der zweiten Kopie eine $1$ anhängt. Anschließend werden alle Knoten + aus der ersten und zweiten Kopie, die sich nur in der letzten Position unterscheiden, verbunden. + + \item $H_{d+1}$ besteht also jetzt schon aus 2 Kreisen $k_0, k_1$, den Hamiltonkreisen in den beiden Kopien von + $H_d$. $k_n$ sei ein Hamiltonkreis in $H_d$, bei dem an jeden Knoten $n$ angehangen wird um der Benennung von + $H_{d+1}$ zu entsprechen. + + \item Durchlaufen von $k_0$ bis zum letzten Knoten, anschließendes wechseln zum letzten Knoten aus $k_1$, + umgekehrtes durchlaufen von $k_1$ und anschließendes wechseln zum ersten Knoten aus $k_0$ liefert den + Hamiltonkreis in $H_{d+1}$. + +\end{itemize} + +\end{document} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.dot new file mode 100644 index 0000000..34bebe8 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.dot @@ -0,0 +1,5 @@ +graph { + rankdir="LR"; + node [ shape="circle" ]; + 0 -- 1; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.dot new file mode 100644 index 0000000..be6f307 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.dot @@ -0,0 +1,14 @@ +graph { + rankdir="LR"; + node [ shape="circle" ]; + { + rank=same; + 00 -- 10; + } + { + rank=same; + 01 -- 11; + } + 00 -- 01; + 10 -- 11; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_2.tex b/school/di-ma/uebung/08/08_2.tex new file mode 100644 index 0000000..624c56b --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_2.tex @@ -0,0 +1,129 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\usepackage{tikz} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \uebung {8} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 8.2} + +Gerichtete Kante $\widehat{=}$ Sieg des Ausgangsknoten + +\begin{enumerate}[1.] + + \item Kanten $\begin{cases} + 1: Schere \\ + 2: Stein \\ + 3: Papier \\ + 4: Axt + \end{cases}$ + + Mit 4 Symbolen: + + \begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.png} + \end{figure} + + $\Rightarrow$ zwei Symbole können jeweils nur gegen genau ein anderes Symbol gewinnen. + + $\Rightarrow$ $A = \left( \begin{matrix} + 0 & 1 & -1 & -1 \\ + -1 & 0 & -1 & 1 \\ + 1 & 1 & 0 & -1 \\ + 1 & -1 & 1 & 0 + \end{matrix}\right)$ + + \item mit 5 Symbolen: $\begin{cases} + 1: rock \\ + 2: paper \\ + 3: scissors \\ + 4: spock \\ + 5: lizard + \end{cases}$ + + \begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.png} + \end{figure} + + $\Rightarrow$ $A = \left(\begin{matrix} + 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ + -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ + 1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ + -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ + 1 & -1 & 1 & -1 & 0 + \end{matrix}\right)$ + + $\Rightarrow$ Anhand der Adjazenzmatrix lässt sich ablesen, ob ein Spiel ausgewogen definiert wurde, d.h. bei + einem ausgewogenen Spiel ist die Anzahl Aus- und Eingehender Kanten in einen Knoten identisch (Anzahl von $1$ + und $-1$ in jeder Zeile gleich) + + $\Rightarrow$ dies ist genau der Fall, wenn eine ungerade Anzahl an Symbolen existiert + + Verfahren: + + \begin{enumerate}[i.] + + \item Zeichne den gerichteten Graphen, der die aktuellen Regeln abbildet. Knoten $\widehat{=}$ Symbole, + gerichtete Kante: Ursprungsknoten $=$ \enquote{verliert gegen}, Zielknoten $=$ \enquote{gewinnt gegen}. + + \item Füge 2 neue Symbole hinzu (Knoten) + + \item \label{new_old} Füge eine gerichtete Kante von einem neuen Knoten zu einem alten Knoten ein, zu dem + noch keine Kante vorhanden ist, und gehe diese entlang zum alten Knoten + + \item \label{old_new} Füge eine gerichtete Kante vom Knoten zu einem neu hinzugefügten Knoten ein, to dem + noch keine Kante + besteht + + \item Wiederhole iii) und iv) bis keine neuen Kanten mehr hinzugefügt werden können + + \item verfollständige den Hamiltonkreis im äußeren Ring + + \item Wiederhole ii), falle die Anzahl neuer Symbole $> 2$ ist, jedoch muss die Anzahl von Symbolen + $(|S_{alt}| + |S_{neu}|) \mod 2 = 1$ betragen + + \end{enumerate} + +\end{enumerate} + +\end{document} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.dot new file mode 100644 index 0000000..dfea075 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.dot @@ -0,0 +1,16 @@ +digraph { + node [ shape="circle" ]; + { + rank=same; + 1; + 2; + } + + { + rank=same; + 3;4; + } + 1 -> 3 -> 4 -> 2 -> 1; + 2 -> 3; + 1 -> 4; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.dot new file mode 100644 index 0000000..9c35622 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.dot @@ -0,0 +1,17 @@ +digraph { + node [ shape="circle" ]; + { + rank=same; + 1;2; + } + { + rank=same; + 3;5; + } + 1 -> 5 -> 4 -> 3 -> 2 -> 1; + 1 -> 3; + 2 -> 4; + 3 -> 5; + 4 -> 1; + 5 -> 2; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex b/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex new file mode 100644 index 0000000..74b08c9 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex @@ -0,0 +1,64 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\usepackage{tikz} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \uebung {8} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 8.3} + +\begin{enumerate}[1.] + + \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$ + beschreibt einen Kreisgraph $C_n$. + + $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten + Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt. + + In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl + $\chi(C_n) = 2$ hat. + + Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben, + Knoten die selbe Farbe haben $n/2$ + +\end{enumerate} + +\end{document}