From 9fdfe8099956a339627b1b13d192645f7bbd1fe4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Valentin Brandl Date: Tue, 11 Dec 2018 15:26:49 +0100 Subject: [PATCH] Add solution for dima 8 --- school/di-ma/uebung/08/08_3.dot | 31 ++++++++ school/di-ma/uebung/08/08_3.tex | 43 ++++++++--- school/di-ma/uebung/08/08_4.tex | 114 ++++++++++++++++++++++++++++++ school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot | 12 ++++ school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot | 4 ++ school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot | 12 ++++ 6 files changed, 208 insertions(+), 8 deletions(-) create mode 100644 school/di-ma/uebung/08/08_3.dot create mode 100644 school/di-ma/uebung/08/08_4.tex create mode 100644 school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot create mode 100644 school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot create mode 100644 school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_3.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_3.dot new file mode 100644 index 0000000..f6179af --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_3.dot @@ -0,0 +1,31 @@ +graph { + splines=false; + node [ shape="circle" ]; + + { + rank=same; 1; + } + + { + rank=same; 2; + /* a [ style="invisible" width=0 ]; */ + /* a [ style="invisible" shape="point" width=0 ]; */ + 6; + } + + { + rank=same; 3; 5; + } + + { + rank=same; 4; + } + + 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 -- 1; + + 1 -- 3 -- 6 -- 2 -- 4; + + 1 -- 5 -- 2; + 5 -- 3; + 1 -- 4 -- 6; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex b/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex index 74b08c9..592bb19 100644 --- a/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_3.tex @@ -47,17 +47,44 @@ \begin{enumerate}[1.] - \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$ - beschreibt einen Kreisgraph $C_n$. + \item 6 Farben - $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten - Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt. + \begin{itemize} + \item jede Farbe genau einmal neben einer anderen + \item keine gleichen Farben nebeneinander + \end{itemize} - In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl - $\chi(C_n) = 2$ hat. + man müsste 3 Hamiltonkreise finden mit disjunkten Kanten. Da aber $\forall v \in V$ gilt, dass $deg(v)= 5$ und + pro Hamiltonkreis zwei Kanten wegfallen, ist der letzte Pfad, nachdem zwei Hamiltonkreise abgelaufen wurden, + kein Kreis, sprich Startknoten $\neq$ Endknoten - Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben, - Knoten die selbe Farbe haben $n/2$ + $\Rightarrow$ Mindestens eine Farbkombination wird nicht erreicht + + $\Rightarrow$ nicht möglich mit 6 Farben + + \item Ungerade Anzahl Farben $\geq 3$. + + \begin{itemize} + \item zeichne vollständigen Graphen (Knoten $\widehat{=}$ Farben) + \item wähle beliebigen Startknoten und finde Kamiltonkreise, solange bis kein Hamiltonkreis mehr gefunden + werden kann + \item aktualisiere dabei den Graphen, indem die vom Hamiltonkreis genutzten Kanten aus dem Graph entfernt + werden + \item falls keine Kante mehr vorhanden (und auch kein Hamiltonkreis mehr), dann sind die gefundenen + Hamiltonkreise eine mögliche Lösung des Problems. + \end{itemize} + + % \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$ + % beschreibt einen Kreisgraph $C_n$. + + % $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten + % Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt. + + % In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl + % $\chi(C_n) = 2$ hat. + + % Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben, + % Knoten die selbe Farbe haben $n/2$ \end{enumerate} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_4.tex b/school/di-ma/uebung/08/08_4.tex new file mode 100644 index 0000000..7ff8bbe --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_4.tex @@ -0,0 +1,114 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\usepackage{tikz} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \uebung {8} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 8.4} + +Abhängig, d.h. $v$ vor $u \Rightarrow O_v > O_u$ und $I_v < I_u$ +\\ +Unabhängig, d.h. $\begin{cases} + \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.png} \\ + \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.png} +\end{cases}$ +\\ +\\ +Beweis durch Widerspruch: $\mathbb{A}: v,u \in V$, $v$ und $u$ sind unabhängig + +\begin{enumerate}[1.] + + \item Fall: $I_v < I_u$ aber $O_v > O_u$. + + Da Einstiegspunkt von $v$ kleiner ist als $u$, wurde $v$ vor $u$ durchlaufen. Weil $v$ und $u$ unabhängig, gibt + es ein $x \in V$, das die beiden Äste vereint. Für diesen muss dann nach Definition der Tiefensuche gelten, dass + er vor $v$ und $u$ gefunden wurde ($I_x < I_v$ und $I_x < I_u$). Weiterhin gilt, dass $v$ vor $x$ vom Stack + gepopt wird, genauso wie $u$. Also $O_v < O_x$ und $O_u < O_x$ + + Insgesamt folgt somit nach Annahme + + \begin{itemize} + \item $v$ vor $u$ durchlaufen + \item $x$ vor $v$ und $u$ durchlaufen + \item $v$ vor $x$ vom Stack gepopt + \item $u$ vor $x$ vom Stack gepopt + \item $u$ vor $v$ vom Stack gepopt + \end{itemize} + + Somit bleibt nur die folgende Darstellung übrig, welche ein Widerspruch zur Unabhängigkeit ist. + + \begin{figure}[h!] + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.png} + \end{figure} + + \item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v < O_u$ + + $u$ wurde vor $v$ durchlaufen, aber $v$ wurde vor $u$ vom Stack gepopt. + + Dies ist genau dann der Fall, wenn ein $v$ Nachfolger von $u$ ist (es liegt im Graphen tiefer). Das heißt, dass + $v$ und $u$ im gleichen Ast sind. + + $\lightning$ zu Unabhängigkeit. + +\end{enumerate} + +\noindent +$\mathbb{A}: v,u \in V$ und $v$ und $u$ sind abhängig + +\begin{enumerate}[1.] + + \item Fall: $I_v < I_u$ und $O_v < O_u$ + + Da $v$ vor $u$ durchlaufen wurde und sie abhängig sind, müsste $u$ vor $v$ vom Stack genommen werden, nach + Definition der Tiefensuche, welches somit im Widerspruch zu $O_v < O_u$ steht. + + \item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v > O_u$ + + Dann wurde $u$ vor $v$ durchlaufen, allerdings wurde $u$ vor $v$ vom Stack gelöscht. Nach Definition der + Tiefensuche werden aber Knoten die in einem Ast liegen von unten nach oben vom Stack gepopt. Somit Widerspruch + zur Abhängigkeit + +\end{enumerate} + +\end{document} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot new file mode 100644 index 0000000..97419c3 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot @@ -0,0 +1,12 @@ +graph { + node [ shape=circle ]; + 0 [ label="" ]; + 1 [ label=""; shape=triangle ]; + 2 [ label=""; shape=triangle ]; + u [ label="u" ]; + v [ label="v" ]; + + 0 -- 1 -- v; + 0 -- 2 -- u; + +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot new file mode 100644 index 0000000..4bc408b --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot @@ -0,0 +1,4 @@ +graph { + node [ shape="circle" ]; + x -- v -- u; +} diff --git a/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot b/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot new file mode 100644 index 0000000..6058159 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot @@ -0,0 +1,12 @@ +graph { + node [ shape=circle ]; + 0 [ label="" ]; + 1 [ label=""; shape=triangle ]; + 2 [ label=""; shape=triangle ]; + u [ label="u" ]; + v [ label="v" ]; + + 0 -- 1 -- u; + 0 -- 2 -- v; + +}