Add lesson Wichtige kombinatorische Probleme

school/di-ma/20181017_1-wichtige_kombinatorische_probleme.md

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+title: Wichtige kombinatorische Probleme
+date: 2018-10-17
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+
+Ein Ziel: Anzahl der Möglichkeiten, $n$ Bälle auf $m$ Urnen zu verteilen, zu verstehen.
+
+**Vorher**:
+
+1. Mengenpartitionen
+2. Permutationen
+3. Zahlpartitionen (geordnet und ungeordnet)
+
+In vielen Fällen erhalten wir "nur" eine Rekursionsformel und keine geschlossene Formel, um die Anzahl zu bestimmen
+(siehe auch Binomialkoeffizient).
+
+
+# Mengenpartitionen
+
+Endliche Menge $A$, $k \in \mathbb{N}$
+
+> Bild
+
+Wir wollen $A$ unterteilen in $k$ nicht-leere Teilmengen $A_i$, $i \in \{ 1,...k \}$, so dass $A_i \neq \emptyset$,
+$A_i \cap A_j = \emptyset$, $i \neq j$, also paarweise disjunkt und
+$\bigcup\limits_{i=1}^n A_i = \dot{\bigcup}_{i=1}^n A_i = A$.
+
+## **Definition**: Sterling-Zahl zweiter Art
+
+Eine $k$-Partition einer endlichen Menge $A$ ist eine ungeordnete Partition von $A$ in $k$ nicht-leere Teilmengen
+$A_i$, $i \in \{1,...k\}$. Die Anzahl dieser $k$-Partitionen bezeichnen wir mit $S_{n,k}$ und heißt
+**Sterling-Zahl zweiter Art**.
+
+## **Satz**: Sterling-Zahl zweiter Art
+
+Für alle $n \geq k$ gilt $S_{n,k} = S_{n-1,k-1} + k \cdot S_{n-1,k}$.
+
+## **Beweis**: Sterling-Zahl zweiter Art
+
+Wir teilen die Anzahl der $k$-Partitionen der Menge $A = \{1,...n\}$ auf in zwei disjunkte Fälle.
+
+1. Fall:
+
+	$\{n\}$ ist eine der $k$ Teilmengen. Damit bilden die weiteren Teilmengen eine $(k-1)$-Partition der Menge
+	$A \setminus \{n\} = A' = \{1,...n-1\}$. Dafür gibt es $S_{n-1,k-1}$ Möglichkeiten.
+
+2. Fall:
+
+	$\{n\}$ ist keine der $k$ Teilmengen. Wir betrachten die $k$-Partition von $A' = \{1,...n-1\}$. Davon gibt es
+	$S_{n-1,k}$ viele. Wir erhalten aus jeder dieser Partitionen eine Partition von $A = A' \cup \{n\}$ indem wir $n$ in
+	eine der $k$ Teilmengen hinzufügen. Damit erhalten wir in diesem Fall $k \cdot S_{n-1,k}$ Möglichkeiten.
+
+Summenformel liefert
+$$
+S_{n,k} = S_{n-1,k-1} + k \cdot S_{n-1,k}
+$$
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+**Beispiel**: $n = 4$, $k = 3$, $A = \{1,2,3,4\}$
+
+1. Fall:
+	* $\{1,2\} \cup \{3\} \cup \{4\}$
+	* $\{1,3\} \cup \{2\} \cup \{4\}$
+	* $\{2,3\} \cup \{1\} \cup \{4\}$
+
+2. Fall: 3-Partition von $A' = \{1,2,3\}$ ist $\{1\} \cap \{2\} \cap \{3\}$ und damit
+	* $\{1,4\} \cap \{2\} \cap \{3\}$
+	* $\{1\} \cap \{2,4\} \cap \{3\}$
+	* $\{1\} \cap \{2\} \cap \{3,4\}$
+
+$$
+\Rightarrow S_{4,3} = 3 + 3 \cdot 1 = 6
+$$
+
+# Permutationen
+
+Eine Permutation auf $\{1,...n\}$ ist eine bijektive Abbildung $\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\}$.
+
+1. Wir wissen schon, dass es insgesamt $n!$ solcher Permutationen gibt
+2. Wir wissen, wie viele Permutationen es gibt, die keinen Fixpunkt haben
+
+Mögliche Darstellungen von $\pi$:
+
+1. als Tabelle
+
+	$$
+	\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\}
+	$$
+
+	| i        | 1        | 2        | ...   | n        |
+	| :---:    | :---:    | :---:    | :---: | :---:    |
+	| $\pi(i)$ | $\pi(1)$ | $\pi(2)$ |       | $\pi(n)$ |
+
+	**Beispiel**: $n = 5$
+
+	| i        | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
+	| :---:    | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+	| $\pi(i)$ | 3     | 4     | 1     | 2     | 5     |
+
+2. als Produkt von Zykeln
+
+	Ein Zykel der Länge $l$ ist $(i_1,i_2,...i_l)$ und entspricht der Permutation $\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\}$ mit
+	$\pi(i_1) = i_2$, $\pi(i_2) = i_3$, $\pi(i_{l-1}) = i_l$ und $\pi(i_l) = i_i$. Für $x \notin \{i_1,...i_l\}$ mit
+	$x \in \{1,...n\}$ gilt $\pi(x) = x$.
+
+**Beispiel**: $n = 5$
+
+Der Zykel $(3 2 4 1)$ entspricht der Permutation
+
+| i        | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
+| :---:    | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\pi(i)$ | 3     | 4     | 2     | 1     | 5     |
+
+Ein Produkt von Zykeln entspricht der Hintereinanderführung der einzelnen Permutationen (gelesen von rechts nach links).
+
+**Beispiel**: $n = 5$
+
+$$
+(3 2 4) (5 1 2) \\
+\pi_2 \text{        } \pi_1
+$$
+
+Entspricht $\pi = \pi_2 \circ \pi_1$ also
+
+| i          | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
+| :---:      | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\pi_1(i)$ | 2     | 5     | 3     | 4     | 1     |
+| $\pi_2(i)$ | 1     | 4     | 2     | 3     | 5     |
+
+Damit $\pi = \pi_2 \circ \pi_1$ gegeben als
+
+| i        | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
+| :---:    | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| $\pi(i)$ | 4     | 5     | 2     | 3     | 1     |
+
+Insbesondere interessant sind Produkte von Zykeln die disjunkte Elemente haben.
+
+Insbesondere gilt:
+
+## **Satz**: Permutation als Produkt von Zykeln
+
+Jede Permutation lässt sich als Produkt con elementfremden Zyklen schreiben.
+
+## **Beweis**: Permutation als Produkt von Zykeln
+
+Gegeben: $\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\}$.
+
+Wir konstruieren eine solche Darstellung. Wir starten mit einem Element (z.B. 1) und betrachten die Sequenz
+
+$$
+i_1 = 1 \\
+i_2 = \pi(i_1) = \pi(1) \\
+i_3 = \pi(i_2) = \pi(\pi(i1)) \\
+\text{usw.}
+$$
+
+Da die Menge $\{1,...n\}$ endlich ist, gibt es ein minimales $l$, so dass $i_{l+1} = \pi(i_i) = i_1$. Damit erhalten wir
+den Zykel $(i_1,i_2,...i_l)$. Wir starten den Prozess erneut mit einem Element aus $\{1,...n\} \setminus \{i_1,...i_l\}$
+bis alle Elemente aus $\{1,...n\}$ in einem Zykel enthalten sind.
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+**Beispiel**: Permutation (1)
+
+$$
+\pi = \pi_2 \circ \pi_1 \\
+(1,4,3,2,5) \\
+\pi(1) = 4 \\
+\pi(4) = 3 \\
+\pi(3) = 2 \\
+\pi(2) = 5 \\
+\pi(5) = \underline{1} \\
+$$
+
+**Beispiel**: Permutation (2)
+
+$$
+(1,3)(2,4)(5) \\
+\pi(1) = 3, \pi(3) = \underline{1} \\
+\pi(2) = 4, \pi(4) = \underline{2} \\
+\pi(5) = 5
+$$
+
+Diese Darstellung ist nicht eindeutig, denn
+
+1. Wir können die Reihenfolge der Zyklen ändern.
+
+	Beispiel: $(1,3)(2,4)(5) = (2,4)(5)(1,3$
+
+2. Wir können innerhalb eines Zykels rotieren
+
+	Beispiel: $(1,4,3,2,5) = (2,5,1,4,3)$
+
+Bis auf diese Modifikationen ist diese Darstellung eindeutig.
+
+## **Definition**: Sterling-Zahl erster Art
+
+Die Anzahl der Permutationen auf $\{1,...n\}$ die in genau $k$ Zyklen zerfallen (wobei wir Fixpunkte, d.h. Zyklen der
+Länge 1 mitzählen) bezeichnen wir mit $s_{n,k}$ und heißt *Sterling-Zahl erster Art*.
+
+Auch dafür gibt es eine Rekursionsformel.
+
+## **Satz**: Sterling-Zahl erster Art
+
+Für $n \ge k$ gilt $s_{n,k} = s_{n-1,k-1} + (n-1) \cdot s_{n-1,k}$
+
+## **Beweis**: Sterling-Zahl erster Art
+
+Wir betrachten (wieder) zwei disjunkte Fälle von Permutationen auf $\{1,...n\}$, die in $k$ Zykeln zerfallen
+
+1. Fall:
+	Die Permutation hat $(n)$ als Zykel. Damit bilden die restlichen $(k-1)$ Zykeln eine Permutation der Elemente
+	$\{1,...n-1\}$. Davon gibt es $s_{n-1,k-1}$ viele.
+
+1. Fall:
+	Die Permutation hat $(n)$ *nicht* als Zykel. Wir betrachten hier eine Permutation auf $\{1,...n-1\}$, die in $k$
+	Zykeln zerfällt. Davon gibt es $s_{n-1,k}$ viele. Wir fügen das Element $n$ ein. Dafür gibt es $(n-1)$
+	Möglichkeiten. Damit gibt es im 2. Fall insgesamt $(n-1) \cdot s_{n-1,k}$ Möglichkeiten.
+
+Summenformel liefert:
+
+$$
+s_{n,k} = s_{n-1,k-1} + (n-1) \cdot s_{n-1,k}
+$$
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+**Beispiel**: $n = 4$ $\{1,2,3,4\}$
+
+1. Fall:
+	$$
+	2 = s_{3,1} = \begin{cases}
+	(1,2,3)(4) \\
+	(1,3,2)(4)
+	\end{cases}
+	$$
+
+1. Fall:
+	$$
+	(1,2)(3) = \begin{cases}
+	(1,2,4)(3) \\
+	(1,4,2)(3) \\
+	(1,2)(3,4)
+	\end{cases} \\
+	(1,3)(2) = \begin{cases}
+	(1,3,4)(2) \\
+	(1,4,3)(2) \\
+	(1,3)(2,4)
+	\end{cases} \\
+	(2,3)(1) = \begin{cases}
+	(2,3,4)(1) \\
+	(2,4,3)(1) \\
+	(2,3)(1,4)
+	\end{cases}
+	$$
+
+$$
+s_{3,2} = 3
+$$