Add solution for intro-crypto/u/02

school/intro-crypto/uebung/02/02.tex

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+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
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+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+% \def \pname {Vorname2 Nachname2}				%
+% \def \pmatrikel {Matrikelnummer2}				%
+\def \gruppe {Gruppe 193}					%
+\def \uebung {1}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\
+% \noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+
+\section*{Aufgabe 1}
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			7 \cdot 5 &\equiv{}& 16 \mod 19 \\
+			\text{check: } (7 \cdot 5) - 16 = 35 - 16 = 19 &\rightarrow{}& 19 \mid 19
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			7 \cdot 81 &\equiv{}& 16 \mod 19 \\
+			\text{check: } (7 \cdot 81) - 16 = 567 - 16 = 551 &\rightarrow{}& 19 \mid 551
+		\end{eqnarray*}
+
+		$5 \equiv 81 \mod 19$
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			26 \cdot 43 &\equiv{}& 16 \mod 19 \\
+			\text{check: } (26 \cdot 43) - 16 = 1118 - 16 = 1102 &\rightarrow{}& 19 \mid 1102
+		\end{eqnarray*}
+
+		$26 \equiv 7 \mod 19$ und $43 \equiv 5 \mod 19$
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			-12 \cdot 43 &\equiv{}& 16 \mod 19 \\
+			\text{check: } (-12 \cdot 43) - 16 = -516 - 16 = -532 &\rightarrow{}& 19 \mid -532
+		\end{eqnarray*}
+
+		$-12 \equiv 7 \mod 19$ und $43 \equiv 5 \mod 19$
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 2}
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			(2 \cdot 5) \cdot 10 &\mod{}& 13
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende (äquivalent zu Moduloreduktion auf Zwischenergebnisse, da alle Zahlen $< 13$ und
+		Zwischenergebnis $2 \cdot 5 = 10 < 13$):
+
+		\begin{eqnarray*}
+			\Rightarrow 100 \equiv 9 &\mod{}& 13
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			2^3 \cdot 8 \mod 250
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende (siehe Teilaufgabe (a); alle Zwischenergebnisse $< 250$):
+
+		\begin{eqnarray*}
+			2^3 \cdot 8 = 8 \cdot 8 = 64 &\mod{}& 250
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			7 \cdot 11 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			7 \cdot 11 = 77 \equiv 0 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion auf Zwischenergebnisse
+
+		\begin{eqnarray*}
+			7 \cdot 11 \equiv 7 \cdot 0 = 0 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			3 \cdot 8 - 11 \cdot 6 &\mod{}& 250
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			3 \cdot 8 - 11 \cdot 6 = 24 - 66 = -42 \equiv 208 &\mod{}& 250
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			(2 \cdot 5 - 19) \cdot 5^6 &\mod{}& 75
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			(2 \cdot 5 - 19) \cdot 5^6 = -9 \cdot 15625 = -140625 \equiv 0 &\mod{}& 75
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion auf Zwischenergebnisse:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			(2 \cdot 5 - 19) \cdot 5^6 = (10 + 56) \cdot (5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2) &\mod{}& 75 \\
+			66 \cdot (25 \cdot 25 \cdot 25) = 66 \cdot (625 \cdot 25) \equiv 66 \cdot (25 \cdot 25)  &\mod{}& 75 \\
+			66 \cdot (25 \cdot 25) \equiv 66 \cdot 25 = 1650 \equiv 0  &\mod{}& 75
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			\frac{74}{7} &\mod{}& 11 \\
+			74 * 7^{-1} &\mod{}& 11 \\
+		\end{eqnarray*}
+
+		Bestimmung von $7^{-1} \mod 11$ (multiplikative Inverse von $7$ in $\mathbb{Z}_{11}$):
+
+		\begin{eqnarray*}
+			7 * x \equiv 1 &\mod{}& 11 \\
+			7 * 8 = 56 \equiv 1 &\mod{}& 11 \\
+			\Rightarrow 7^{-1} \equiv 8 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			74 * 8 = 592 \equiv 9 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion auf Zwischenergebnisse:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			74 * 8 \equiv 8 * 8 = 64 \equiv 9  &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item
+		\begin{eqnarray*}
+			\frac{5 \cdot 2 - 8}{7^2} &\mod{}& 11 \\
+			(5 * 2 - 8) * (7^2)^{-1} &\mod{}& 11 \\
+		\end{eqnarray*}
+
+		Bestimmung von $(7^2)^{-1} = 49^{-1} \equiv 5^{-1} \mod 11$
+
+		\begin{eqnarray*}
+			49 * x \equiv 5 * x \equiv 1 &\mod{}& 11 \\
+			5 * 9 = 45 \equiv 1 &\mod{}& 11 \\
+			\Rightarrow 49^{-1} \equiv 5^{-1} \equiv 9 &\mod{}& 11
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion am Ende:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			(5 * 2 - 8) * (7^2)^{-1} = 2 * 49^{-1} \equiv 2 * 9 = 18 \equiv 7 &\mod{}& 11 \\
+		\end{eqnarray*}
+
+		Moduloreduktion auf Zwischenergebnisse:
+
+		\begin{eqnarray*}
+			(5 * 2 - 8) * (7^2)^{-1} = 2 * 49^{-1} \equiv 2 * 5^{-1} \equiv 2 * 9 = 18 \equiv 7 &\mod{}& 11 \\
+		\end{eqnarray*}
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 3}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item $5^{-1} \mod 13$
+
+		$\text{ggT}(5, 13) = 1 \Rightarrow 5^{-1}$ existiert.
+
+		\begin{eqnarray*}
+			5 * x \equiv 1 &\mod{}& 13 \\
+			x = 1 \Rightarrow 5 * 1 = 5 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 2 \Rightarrow 5 * 2 = 10 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 3 \Rightarrow 5 * 3 = 15 \equiv 2 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 4 \Rightarrow 5 * 4 = 20 \equiv 7 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 5 \Rightarrow 5 * 5 = 25 \equiv 12 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 6 \Rightarrow 5 * 6 = 30 \equiv 4 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 7 \Rightarrow 5 * 7 = 35 \equiv 9 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 8 \Rightarrow 5 * 8 = 40 \equiv 1 &\mod{}& 13 \text{ \cmark} \\
+			\Rightarrow 5^{-1} \equiv 8 &\mod{}& 13
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item $3 * 4 * 4^{-1} \mod 13$
+		\begin{eqnarray*}
+			3 * 4 * 4^{-1} \equiv 3 * 1 = 3  &\mod{}& 13
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item $3 * 2 * 4^{-1} \mod 13$
+
+		Bestimmung der multiplikativen Inverse $4^{-1} \mod 13$:
+
+		$\text{ggT}(4, 13) = 1 \Rightarrow 4^{-1}$ existiert.
+
+		\begin{eqnarray*}
+			4 * x \equiv 1 &\mod{}& 13 \\
+			x = 1 \Rightarrow 4 * 1 = 4 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 2 \Rightarrow 4 * 2 = 8 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 3 \Rightarrow 4 * 3 = 12 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 4 \Rightarrow 4 * 4 = 16 \equiv 3 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 5 \Rightarrow 4 * 5 = 20 \equiv 7 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 6 \Rightarrow 4 * 6 = 24 \equiv 11 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 7 \Rightarrow 4 * 7 = 28 \equiv 2 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 8 \Rightarrow 4 * 8 = 32 \equiv 6 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 9 \Rightarrow 4 * 9 = 36 \equiv 10 &\mod{}& 13 \text{ \xmark} \\
+			x = 10 \Rightarrow 4 * 10 = 40 \equiv 1 &\mod{}& 13 \text{ \cmark} \\
+			\Rightarrow 4^{-1} \equiv 10 &\mod{}& 13
+		\end{eqnarray*}
+
+		\begin{eqnarray*}
+			3 * 2 * 4^{-1} \equiv 3 * 2 * 10 = 30 * 2 \equiv 4 * 2 = 8  &\mod{}& 13 \\
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item $3 * x \equiv 3 \mod 9$
+		\begin{eqnarray*}
+			3 * x \equiv 3 &\mod{}& 9 \\
+			x = 0 \Rightarrow 3 * 0 = 0 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			x = 1 \Rightarrow 3 * 1 = 3 &\mod{}& 9 \text{ \cmark} \\
+			x = 2 \Rightarrow 3 * 2 = 6 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			x = 3 \Rightarrow 3 * 3 = 9 \equiv 0 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			x = 4 \Rightarrow 3 * 4 = 12 \equiv 3 &\mod{}& 9 \text{ \cmark} \\
+			x = 5 \Rightarrow 3 * 5 = 15 \equiv 6 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			x = 6 \Rightarrow 3 * 6 = 18 \equiv 0 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			x = 7 \Rightarrow 3 * 7 = 21 \equiv 3 &\mod{}& 9 \text{ \cmark} \\
+			x = 8 \Rightarrow 3 * 8 = 24 \equiv 6 &\mod{}& 9 \text{ \xmark} \\
+			\Rightarrow 3 * 1 \equiv 3 * 4 \equiv 3 * 7 \equiv 3 &\mod{}& 9
+		\end{eqnarray*}
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 4}
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item
+		\begin{itemize}
+			\item $\mathbb{Z}_{13}$: Alle Elemente außer $0$ (siehe Begründung in 2. Teilaufgabe) von $\mathbb{Z}_{13}$
+				haben eine multiplikative Inverse, da 13 eine Primzahl ist und dadurch alle Elemente aus
+				$\mathbb{Z}_{13}$ Teilerfremd zu 13 sind.
+
+			\item $\mathbb{Z}_{14}$
+				\begin{itemize}
+					\item 0, da $0 * x = 0$ und es somit kein $x$ geben kann, mit $0 * x = 1$
+					\item 2, da $\text{ggT}(2,14) = 2 \neq 1$
+					\item 4, da $\text{ggT}(4,14) = 2 \neq 1$
+					\item 6, da $\text{ggT}(6,14) = 2 \neq 1$
+					\item 7, da $\text{ggT}(7,14) = 2 \neq 1$
+					\item 8, da $\text{ggT}(8,14) = 2 \neq 1$
+					\item 10, da $\text{ggT}(10,14) = 2 \neq 1$
+					\item 12, da $\text{ggT}(12,14) = 2 \neq 1$
+				\end{itemize}
+
+			\item $\mathbb{Z}_{16}$
+				\begin{itemize}
+					\item 0, da $0 * x = 0$ und es somit kein $x$ geben kann, mit $0 * x = 1$
+					\item 2, da $\text{ggT}(2,16) = 2 \neq 1$
+					\item 4, da $\text{ggT}(4,16) = 4 \neq 1$
+					\item 6, da $\text{ggT}(6,16) = 2 \neq 1$
+					\item 8, da $\text{ggT}(8,16) = 8 \neq 1$
+					\item 10, da $\text{ggT}(10,16) = 2 \neq 1$
+					\item 12, da $\text{ggT}(12,16) = 4 \neq 1$
+				\end{itemize}
+		\end{itemize}
+
+	\item In $\mathbb{Z}_{11}$ haben alle Elemente außer $0$ eine multiplikative Inverse, da 11 eine Primzahl ist und
+		damit alle Elemente aus $\mathbb{Z}_{11}$ teilerfremd zu 11 sind. In $\mathbb{Z}_9$ bzw. $\mathbb{Z}_{15}$ haben
+		die Elemente $0, 3$ bzw. $0, 3, 5$ und alle deren Vielfache keine multiplikative Inverse, da $3$ bzw. $3, 5$
+		jeweils Teiler von $9$ bzw. $15$ sind.
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 5}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item $e_{k_1}(x) = y \equiv a_1 * x + b_1 \mod n$ und $e_{k_2}(x) = y \equiv a_2 * x + b_2$
+
+		Gesucht: $e_{k_3}(x) = a_3 * x + b_3$ mit $e_{k_3}(x) = e_{k_2}(e_{k_1}(x)$
+
+		\begin{eqnarray*}
+			e_{k_3}(x) = e_{k_2}(e_{k_1}(x)) = a_2 * (a_1 * x + b_1) + b_2 &\mod{}& n \\
+			e_{k_3} = (a_2 * a_1) * x + (a_2 * b_1 + b_2) &\mod{}& n \\
+			\Rightarrow a_3 = (a_2 * a_1) \mod n \text{ und } b_3 = (a_2 * b_1 + b_2) \mod n
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item $a_1 = 7, b_1 = 13$ und $a_2 = 19, b_2 = 7$ und $n = 26$
+
+		Gesucht: $a_3, b_3$
+
+		\begin{eqnarray*}
+			a_3 = (a_2 * a_1) = 7 * 19 = 133 \equiv 3 &\mod{}& 26 \\
+			b_3 = (a_2 * b_1 + b_2) = 7 * 13 + 7 = 98 \equiv 20 &\mod{}& 26 \\
+			\Rightarrow e_{k_3}(x) = 3 * x + 20 &\mod{}& 26
+		\end{eqnarray*}
+
+	\item Da sich der Modulus $n$ nicht verändert, verändert sich auch der Schlüsselraum nicht. Gegen affine Chiffren
+		sind weiterhin Häufigkeitsanalysen möglich, da jedes Plaintext Zeichen auf das selbe Ciphertext Zeichen gemappt
+		wird.
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 6}
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item
+		\begin{tabular}{|cccccccccccccccc|}
+			\hline
+			M&u&j&m&l&l&m&l&A&m&k&c&z&q&b&g \\\hline
+			E&m&b&e&d&d&e&d&S&e&c&u&r&i&t&y \\\hline
+		\end{tabular}
+
+	\item Nein, da Buchstabenhäufigkeiten weiterhin erkennbar bleiben. Nachdem die Buchstabenhäufigkeiten bestimmt
+		wurden kann man den geheimen Offset herausfinden und hat sogar weniger Arbeit als bei der Subsitutionschiffre,
+		da keine Substitutionstabelle erstellt werden muss, da der Offset für jedes Zeichen gleich ist.
+
+		Weiter ist auch ein Bruteforce Angriff gegen dieses Verfahren, da es je nach dem, ob Groß- und Kleinschreibung
+		unterschieden wird, nur 26 bzw. 52 verschiedene Schlüssel.
+
+	\item Nein, da die \enquote{Normalisierung}, also Zurückführung auf die normale Cäsar-Chiffre, trivial ist. Wenn
+		man von jedem Zeichen den Index seiner Position als Offset abzieht, erhält man wieder die Cäsar-Chiffre.
+
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 7}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+	\item Solange es gegen Angriffe, die im Threatmodel definiert wurden, schützt. Das Threatmodel beschreibt war, vor
+		wem und wie lange geschützt werden soll.
+
+	\item Während der Verteidiger sich gegen alle möglichen Arten von Schwachstellen schützen muss, reicht es dem
+		Angreifer, eine einzige Schwachstelle zu finden, um ein System zu kompromittieren.
+
+	\item Die Implementierung der Algorithmen, die Benutzer eines Systems, (Pseudo-)Random-Number Generatoren,
+		Design Fehler in Protokollen, Design des Userinterface, (implizierte) Hardwarevoraussetzungen (z.B.
+		manipulationssichere Hardware)
+
+	\item Bei einem Flugzeugunglück kümmert sich die Regierung um die Analyse und Aufarbeitung des Unglücks, und die
+		Informationen werden verbreitet, dass andere daraus lernen können um zu verhindern, dass sich das Unglück
+		wiederholt, während bei Angriffen auf kryptographische Systeme, sollte es überhaupt eine Berichterstattung
+		geben, Informationen weggelassen werden und keine Analysen veröffentlicht werden. Das führt dazu, dass sich der
+		selbe Fehler ggf. wiederholt. Die Schwachstellen werden im stillen geschlossen und möglichst viel Information
+		zurückgehalten um das Vertrauen in ein System nicht zu verlieren, obwohl dieses nicht mehr gerechtfertigt ist.
+
+	\item Wenn Details zurückgehalten werden, hat niemand die Möglichkeit, aus den gemachten Fehlern zu lernen und die
+		Fehler werden ggf. wiederholt.
+
+	\item Fehler in der Implementierung oder ein schlechtes Userinterface (z.B. unsichere Default Werte) können ein
+		theoretisch sicheres System unsicher machen.
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}
+