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 \hwsol
 
 \section*{Aufgabe 4.1}
+
+Aufbau des Beweises: Einführen von Aussage iv) \enquote{G ist ein Baum} und zeigen von
+\begin{enumerate}
+    \item i) $\Leftrightarrow$ iv)
+    \item ii) $\Leftrightarrow$ iv)
+    \item iii) $\Leftrightarrow$ iv)
+\end{enumerate}
+
+$\Rightarrow$ i) $\Leftrightarrow$ ii) $\Leftrightarrow$ iii)
+
 \begin{enumerate}[i)]
 
     \item Je zwei Koten in $G$ sind durch genau einen Pfad miteinander verbunden.
 
-        $\Rightarrow G$ ist zusammenhängend $\Rightarrow G$ ist ein Baum (Lemma b) aus der Vorlesung)
-
-        $\Rightarrow$ i) $\equiv$ iii)
-
     \item $G$ ist zusammenhängend und es gilt $|V| = |E| + 1$
 
-
     \item $G$ besitzt keinen einfachen Kreis und es gilt $|V| = |E| + 1$
 
-        $|V| = |E| + 1 \Rightarrow |V| - |E| = 1 \Rightarrow G$ hat eine Zusammenhangskomponente $\Rightarrow G$ ist
-        zusammenhängend.
-
-        Kreisfrei und zusammenhängend $\Rightarrow G$ ist ein Baum
-
-        $\Rightarrow$ ii) $\equiv$ iii)
+    \item $G$ ist ein Baum
 
 \end{enumerate}
 
-Da i) $\equiv$ iii) und ii) $\equiv$ iii) $\Rightarrow$ i) $\equiv$ ii) $\equiv$ iii)
+\begin{itemize}
+
+    \item i) $\Rightarrow$ iv)
+        \begin{itemize}
+            \item Ein Pfad zwischen je 2 Knoten $\Rightarrow G$ ist zusammenhängend
+            \item \underline{Genau} ein Pfad zwischen je 2 Knoten $\Rightarrow G$ ist kreisfrei
+        \end{itemize}
+
+        $\Rightarrow G$ ist ein Baum
+
+    \item ii) $\Rightarrow$ iv)
+        \begin{itemize}
+            \item $G$ ist zusammenhängend
+            \item Annahme: $G$ ist nicht kreisfrei
+
+                Ein zusammenhängender Graph mit $|V|$ Knoten hat mindestens $|E| = |V| - 1$ Kanten. Dieser minimale
+                Graph ist aber kreisfrei
+
+                Um einen Kreis zu erzeugen, müsste also eine zusätzliche Kante hinzugefügt werden. Damit wäre |V| = |E|,
+                was der gegebenen Formel widerspricht.
+
+                $\Rightarrow G$ ist kreisfrei
+        \end{itemize}
+
+        $\Rightarrow G$ ist ein Baum
+
+    \item ii) $\Rightarrow$ iv)
+        \begin{itemize}
+            \item $G$ ist kreisfrei
+            \item Annahme: $G$ ist nicht zusammenhängend
+
+                Es gibt $|V| - |E| > 1$ kreisfreie Zusammenhangskomponenten $\Rightarrow$ Widerspruch zu $|V| = |E| + 1$
+
+                $\Rightarrow G$ ist zusammenhängend
+        \end{itemize}
+
+        $\Rightarrow G$ ist ein Baum
+
+    \item iv) $\Rightarrow$ i)
+        \begin{itemize}
+            \item $G$ ist zusammenhängend $\Rightarrow$ Es gibt einen Pfad zwischen je 2 Knoten
+            \item $G$ ist kreisfrei $\Rightarrow$ Es gibt \underline{genau} einen Pfad zwischen je 2 Knoten
+        \end{itemize}
+
+    \item iv) $\Rightarrow$ ii)
+        \begin{itemize}
+            \item $G$ ist zusammenhängend
+            \item $|V| = |E| + 1$ gilt in jedem Baum
+        \end{itemize}
+
+    \item iv) $\Rightarrow$ iii)
+        \begin{itemize}
+            \item $G$ ist kreisfrei
+            \item $|V| = |E| + 1$ gilt in jedem Baum
+        \end{itemize}
+
+\end{itemize}
+
+Es wurde gezeigt i) $\Leftrightarrow$ iv), ii) $\Leftrightarrow$ iv) und iii) $\Leftrightarrow$ iv).
+
+$\Rightarrow$ i) $\Leftrightarrow$ ii) $\Leftrightarrow$ iii)
+
+q.e.d.
 
 \end{document}