diff --git a/school/di-ma/uebung/03/03_1.tex b/school/di-ma/uebung/03/03_1.tex new file mode 100644 index 0000000..9c8acc5 --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/03_1.tex @@ -0,0 +1,89 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \uebung {3} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 3.1} +\begin{enumerate}[1.] + + \item Getränke $\widehat{=}$ Bälle (unterscheidbar); Tablets $\widehat{=}$ Urnen (nicht unterscheidbar) + + In jeder Urne mindestens ein Ball $\Rightarrow$ surjektiv. + + $\Rightarrow$ $S_{n,m}$ mit $n = 8$, $m = 4$ + + \begin{tabular}{c|cccccccccc} + $n/m$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline + 0 & 1 &&&&\\ + 1 & 0 & 1 & & & \\ + 2 & 0 & 1 & 1 & & \\ + 3 & 0 &1 &3 &1 & \\ + 4 & 0 &1 &7 &6 &1 \\ + 5 & 0 &1 &15 &25 &10 \\ + 6 & 0 &1 &31 &90 &65 \\ + 7 & 0 &1 &63 &301 &350 \\ + 8 & 0 &1 &127 &966 &\underline{1701} \\ + \end{tabular} + + \begin{eqnarray*} + S_{8,4} = 1701 + \end{eqnarray*} + + \item + \begin{align} + S_{8,4} &+& S_{8,3} &+& S_{8,2} &+& S_{8,1} &=& \\ + 1701 &+& 966 &+& 127 &+& 1 &=& 2795 + \end{align} + + \item Freunde $\widehat{=}$ Urnen (unterscheidbar); Getränke $\widehat{=}$ Bällen (unterscheidbar). + + Mindestens ein Ball pro Urne $\Rightarrow$ surjektiv. + + $\Rightarrow$ $m! * S_{n,m}$ mit $n = 8$, $m = 4$. + + \begin{eqnarray*} + 4! * S_{8,4} &= 24 * 1701 \\ + &= 40824 + \end{eqnarray*} + +\end{enumerate} + +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/03/03_2.tex b/school/di-ma/uebung/03/03_2.tex new file mode 100644 index 0000000..aecc7fc --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/03_2.tex @@ -0,0 +1,64 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \uebung {3} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 3.2} + +\begin{itemize} + + \item Hilfsdiagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$ legen und damit ein relatives \enquote{Unterkoordinatensystem} + erzeugen, in dem von Punkt $(1,0)$ gestartet wird. + + \item Analog zur korrekten Klammerung, muss der erste Schritt nach rechts (öffnende Klammer) und der letzte Schritt + nach oben (schließende Klammer) gehen + + \item Wir betrachten die Diagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$. Hier gibt es $C_{11}$ gültige wege. + + \item Weiter betrachten wir $(2,1)$ nach $(11,10)$ (was analog ist zu $(2,1)$ nach $(12,11)$, da es nur einen + gültigen Weg von $(11,10)$ nach $(12,10)$ gibt) $= C_{10}$ Wege, die man von $(3,0)$ aus \underline{nicht} gehen + kann. + + \item $\Rightarrow C_{11} - C_{10} = 58786 - 16796 = 41990$ + +\end{itemize} + +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/03/03_3.tex b/school/di-ma/uebung/03/03_3.tex new file mode 100644 index 0000000..933ed9f --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/03_3.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \uebung {3} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 3.3} +\begin{enumerate}[1.] + + \item + \begin{eqnarray*} + \ln n &= o(e^{\sqrt{\ln n}}) \\ + \text{Anwendung des Satz von L'Hospital:} \\ + \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \\ + \Rightarrow &\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{1}{n}}{e^{\sqrt{\ln(n)}} + \frac{1}{2n\sqrt{\ln(n)}}} \right) \\ + &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{1}{n}n}{e^{\sqrt{\ln(n)}}\frac{n}{2n\sqrt{\ln(n)}}} + \right) \\ + &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\frac{e^{\sqrt{\ln(n)}}}{2\sqrt{\ln(n)}}} \right) \\ + &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\infty} \\ + \end{eqnarray*} + da $e^{\sqrt{\ln(n)}}$ schneller wächst als $2\sqrt{\ln(n)}$ + + $\Rightarrow \ln n = o(e^{\sqrt{\ln n}})$ + + \item + \begin{eqnarray*} + e^{\sqrt{\ln n}} &= o(n^{\varepsilon}) \text{ für alle } \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 \\ + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{\ln n}}}{e^{\ln(n^{\varepsilon})}} = + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{\ln n}}}{e^{\varepsilon \cdot \ln n}} = 0 + \end{eqnarray*} + + Gilt für alle $\varepsilon > 0$, da $\ln n$ schneller wächst als $\sqrt{\ln n}$. + + $\Rightarrow e^{\sqrt{\ln n}} = o(n^{\varepsilon})$ + +\end{enumerate} + +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/03/03_4.tex b/school/di-ma/uebung/03/03_4.tex new file mode 100644 index 0000000..f3c8edf --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/03_4.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} +\usepackage{url} +%\usepackage{graphics} +\usepackage{times} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage{float} +\usepackage{diagbox} +\usepackage{diagbox} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{geometry} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epsfig} +\usepackage{paralist} +\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} + +%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% +\def \name {Valentin Brandl} % +\def \matrikel {108018274494} % +\def \pname {Marvin Herrmann} % +\def \pmatrikel {108018265436} % +\def \qname {Pascal Brackmann} +\def \qmatrikel {108017113834} % +\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)} +\def \uebung {3} % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + % DO NOT MODIFY THIS HEADER +\newcommand{\hwsol}{ +\vspace*{-2cm} +\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\ +\noindent \pmatrikel \quad \pname \\ +\noindent \qmatrikel \quad \qname \\ +\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} +} + +\begin{document} +%Import header +\hwsol + +\section*{Aufgabe 3.4} + +% \begin{itemize} + +% \item $o$ impliziert $O$ + +% \item $\omega$ impliziert $\Omega$ + +% \item $f = \Theta(g) \Rightarrow f = \Omega(g) \text{ und } f = O(g)$ + +% \item $f = O(g) \Rightarrow g = \Omega(f)$ + +% \item $f = o(g) \Rightarrow g = \omega(f)$ + +% \end{itemize} + +\begin{tabular}{|l||l|l|l|l|l|l|l|l|} + \hline + \backslashbox{f}{g} & $4^n$ & $e^{2n}$ & $\sum\limits_{k=1}^n k$ & $n \ln n$ & $2^{(2^{n+1})}$ & $51^{\ln n}$ & $2^{(2^n)}$ & + $2^{\sqrt{\ln n}}$ \\\hline + $4^n$ & $\Theta$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\omega$ & $O$ & $\omega$ \\\hline + $e^{2n}$ & $\omega$ & $\Theta$ & $o$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ \\\hline + $\sum\limits_{k=1}^n k$ & $\omega$ & $\omega$ & $\Theta$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ \\\hline + $n \ln n$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\Theta$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\omega$ \\\hline + $2^{(2^n)}$ & $\Omega$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $\Theta$ & $\Omega$ & $\Omega$ & $\omega$ \\\hline + $51^{\ln n}$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\Theta$ & $O$ & $\omega$ \\\hline + $2^{(2n)}$ & $\Omega$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\Omega$ & $\Theta$ & $\omega$ \\\hline + $2^{\sqrt{\ln n}}$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\Theta$ \\\hline +\end{tabular} + +\end{document} + diff --git a/school/di-ma/uebung/03/st.py b/school/di-ma/uebung/03/st.py new file mode 100644 index 0000000..e17a49d --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/st.py @@ -0,0 +1,41 @@ +#!/usr/bin/env python + +def p(n,k): + if k == 0: + return 0 + elif n == k or k == 1: + return 1 + elif n < k: + return 0 + else: + return p(n-1,k-1) + p(n-k,k) + +def s(n,k): + if n == k: + return 1 + elif k == 0: + return 0 + elif n < k: + return 0 + else: + return s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k) + +def S(n, k): + if n == k: + return " S_{" + n + "," + k + "} " + # return 1 + elif k == 1: + return " S_{" + n + "," + k + "} " + # return 1 + elif k == 0: + return " S_{" + n + "," + k + "} " + # return 0 + elif n < k: + return " S_{" + n + "," + k + "} " + # return 0 + else: + return " S_{" + str(n-1) + "," + str(k-1) + "} + " + str(k) + " * S_{" + str(n-1) + "," + str(k) + "} " + # return S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k) + +print(S(5,3)) +# print(p(10,4)) diff --git a/school/di-ma/uebung/03/tmp b/school/di-ma/uebung/03/tmp new file mode 100644 index 0000000..a5f2c7a --- /dev/null +++ b/school/di-ma/uebung/03/tmp @@ -0,0 +1,22 @@ + +12 → \item Hilfsdiagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$ legen und damit ein + ↪relatives \enquote{Unterkoordinatensystem}¬ + 11 → → erzeugen, in dem von Punkt $(1,0)$ gestartet wird.¬ + 10 ¬ + 9 → \item Analog zur korrekten Klammerung, muss der erste Schritt nach rechts + ↪(öffnende Klammer) und der letzte Schritt¬ + 8 → → nach oben (schließende Klammer) gehen¬ + 7 ¬ + 6 → \item Wir betrachten die Diagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$. Hier gibt es + ↪$C_{11}$ gültige wege.¬ + 5 ¬ + 4 → \item Weiter betrachten wir $(2,1)$ nach $(11,10)$ (was analog ist zu $(2, + ↪1)$ nach $(12,11)$, da es nur einen¬ + 3 → → gültigen Weg von $(11,10)$ nach $(12,10)$ gibt) $= C_{10}$ Wege, die man + ↪von $(3,0)$ aus \underline{nicht} gehen¬ + 2 → → kann.¬ + 1 ¬ +59 → \item $\Rightarrow C_{11} - C_{10} = 58786 - 16796 = 41990$¬ + 1 ¬ + 2 ¬ + 3 \end{itemize}¬