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title: Kombinatorik
date: 2018-10-09
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# Kombinatorik
## Elementare Zählprobleme und Grundlegende Regeln
### Beispiel
#### Gegeben
- 3 elementige Menge $M = \{1, 2, 3\}$
#### Frage
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Elemente azs M zu ziehen?
#### Antwort
It depends
--- | geordnet | ungeordnet
--- | --- | ---
mit zurücklegen | A:
$(1,1),(1,2),(1,3)$
$(2,1),(2,2),(2,3)$
$(3,1),(3,2),(3,3)$ | D:
$\{1,1\},\{1,2\}\{1,2\}$
$\{2,2\},\{3,2\}$
$\{3,3\}$
ohne zurücklegen | B:
$(1,2),(1,3)$
$(2,1),(2,3)$
$(3,1),(3,2)$ | C:
$\{1,2\},\{1,3\}$
$\{2,3\}$
Wie viele Möglichkeiten gibt es allgemein, aus einer $n$-elementingen Menge $k$ elemente zu ziehen?
## *Zuerst:* Einfache Grundregeln
### Summenregel
Seien $S$, $T$ endliche Mengen, disjunkt, d.h. $S \cap T = \emptyset$ (Notation $S \dot\cup T$, disjunkte Vereinigung),
dann gilt
$$
| S \dot\cup T | = | S | + | T |
$$
Allgemeiner: Gegeben $S_1, S_2, ... S_n$, endliche, disjunkte Mengen, dann gilt
$$
| \dot\cup^n_{i=1} S_i | = | S_1 | + | S_2 | + ... + | S_n | = \sum\limits^n_{i=1} | S_i |
$$
### Produktregel
Seien $S$, $T$ endliche Mengen, dann gilt
$$
| S \times T | = | S | \cdot | T |
$$
wobei
$$
S \times T = \{(s,t) \mid s \in S, t \in T \}
$$
Allgemeiner: Gegeben $S_1, S_2, ... S_n$ endliche Mengen, dann gilt
$$
\vert S_1 \times S_2 \times ... S_n \vert = \vert S_1 \vert \cdot \vert S_2 \vert \cdot ... \vert S_n \vert
$$
#### Beispiel
$$
S_1, ..., S_n = \{0, 1\}, n = 64 \\
\vert S^n \vert = \vert \{0,1\}^{64} \vert = 2^{64}
$$
Anzahl der Zustände eines 64-bit Registers.
### Gleichheitsregel
Seien $S$, $T$ endliche Mengen und $f: S \to T$ eine bijektive Abbildung, dann gilt
$$
\vert S \vert = \vert T \vert
$$
(eigentlich: Definition von "gleich groß")
Allgemeiner: Seien $S$, $T$ endliche Mengen und $f: S \to T$ eine $k$ auf $1$ Abbildung, d.h. $\forall t \in T$ gilt
$\vert\{s \in S \mid f(s) = t \}\vert = \vert f^{-1}(t) \vert = k$ dann gilt
$$
\vert S \vert = k \cdot \vert T \vert
$$
Damit können wir nun die Fälle A - D untersuchen.
### Fall A
In Fall A zählen wir $k$-Tupel mit Komponenten aus der $n$-elementigen Menge $M$, d.h. Elemente aus
$M \times M \times ... M = M^k$
Aus der Produktregel folgt: Es gibt $\vert M \vert^k = n^k$ Möglichkeiten
#### Satz
Die Anzahl der $k$-Tupel mit Komponenten aus einer $n$-elementigen Menge ist
$$
n^k\\
\Box
$$
### Fall B
Wir ziehen aus einer $n$-elementigen Menge ohne zurücklegen
- Für die erste Komponente haben wir $n$ Möglichkeiten
- Für die zweite Komponente haben wir $n - 1$ Möglichkeiten
- usw.
D.h. insgesamt haben wir $n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n^{\underline{k}}$ Möglichkeiten ($k$-te absteigende Faktorielle).
#### Satz
Die Anzahl der $k$-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten aus einer $n$-elementigen Menge ist
$$
n^{\underline{k}} = n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)
$$
**Wichtiger Spezialfall**:
$$
n = k
$$
Dann ist das nichts anderes als die Anzahl der Permutationen von $n$ Elementen
##### Beispiel
$$
n = 3 \\
M = \{1,2,3\}
$$
Mögliche Permutationen: $(123), (132), (213), (231), (312), (321)$
$3! = 3\cdot2\cdot1$ Möglichkeiten
$n! = n\cdot(n-1)\cdot...\cdot2\cdot1$ Möglichkeiten
**Bemerkung:** Es gilt
$$
n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}
$$
### Fall C
Wir zählen die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge.
Von fall B zu Fall c durch ignorieren der Reihenfolge.
Beachte die Abbildung die einem $k$-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten $(i_1, ..., i_k)$ die $k$-elementige
Teilmenge $\{i_1, ..., i_k\}$ zuordnet. Diese Abbildung ist $k!$ - auf $-1$ da jede $k$-elementige Teilmenge auf $k!$
Arten angeordnet werden kann.
Damit folgt (Gleichheitsregel)
#### Satz
Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge ist
$$
\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
$\binom{n}{k}$ ist der Binomialkoeffizient.
##### Beispiel
$$
n = 3, k = 2 \\
\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3\cdot2}{2} = 3
$$
### Fall D
Hier zählen wir Multimengen. In einer Multimenge können Elemente mehrfach vorkommen, mit Vielfachheit.
In $k$-elementigen Multimengen addieren sich die Vielfachkeiten zu $k$.
Wir wollen die Gleichheitsregel anwenden. Dazu folgende Kodierung einer Multimenge:
- Zwei Symbole `*` und `|`
- Wir schreiben $t$ Sterne `*` falls ein Element $i$ Vielfachkeit $t$ hat
- Übergang von $i$ zu $i-1$ wird gekennzeichnet durch `|`
#### Beispiel 1
$M = \{1,2,3,4,5\}$ und Multimenge $S = \{1,1,1,3,3,4,4,4\}$ wird kodiert als
```
*** | | ** | *** |
```
#### Beispiel 2
$T = \{1,1,5,5\}$ wird kodiert als
```
** | | | | **
```
Jede $k$-elementige Multimenge einer $n$-elementigen Menge entspricht eindeutig einer Sequenz aus $k$ `*` Symbolen und
$n-1$ `|` Symbolen.
Jede Sequenz von $k$ `*` Symbolen und $n-1$ `|` Symbolen entspricht genau einer $k$-elementigen Multimenge.
Abbildung Multimenge $\to$ Kodierungssequenz ist bijektiv.
Wegen der Gleichheitsregel können wir also genausogut die Anzahl der möglichen Kodierungssequenzen zählen.
Kodierungssequenz hat die Länge $(n-1)+k$ und an $k$ Stellen steht ein `*`. Dann gibt es genau $\binom{n-1+k}{k}$
solcher Sequenzen.
#### Satz
Die Anzahl der $k$-elementigen Multimengen einer $n$-elementigen Menge ist
$$
\binom{n-1+k}{k}
$$
##### Beispiel
25 Eissorten. Wie viele mögliche Eisbecher mit 5 Kugeln gibt es?
**Antwort**:
$$
n = 25, k = 5 \\
\binom{25-1+5}{5} = \binom{29}{5} = 118755
$$