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title: Breitensuche
date: 2018-11-13
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(ungerichtete Graphen)

*Frage*: Gegeben ein Graph $G = (V,E)$ und $s \in V$. Wie finden wir die kürzesten Pfade zum Knoten
$u \in V \setminus \{s\}$? Ohne Einschränkung $V = \{1,...,n\}$.

*Zuerst*:

a) Speichern von Graphen

    Man möchte unter Anderem folgendes berechnen/testen:

    i) für $u,v \in V$ ist $\{u,v\} \in E$?
    ii) $\Gamma(u) = \{v \in V \mid \{u,v\} \in E\}$

    Der Aufwand für diese Operationen ist abhängig davon, wie wir den Graphen speichern.

    1. Möglichkeit:

        Adjazenzmatrix $A$ mit $A_{ij} = \begin{cases}
        1 & \{i,j\} \in E \\
        0 & \text{sonst}
        \end{cases}$

        Speicheraufwand: $O(n^2)$

        * testen ob $\{u,v\} \in E$ kostet $O(1)$ (teste ob $A_{ij} = 1$ oder nicht)
        * berechnen von $\Gamma(u)$ kostet $O(n)$

    1. Möglichkeit:

        Verkettete Listen (Adjazenzlisten)

        Für jeden Knoten $u \in \{1,...,n\}$ speichern wir eine (aufsteigend sortierte) Liste der Nachbarn von $u$.

        *Beispiel*:

        ![Graph](20181113_2-adjlist.png)

        | Knoten | Nachbarn |
        | ---    | ---      |
        | 1      | 2, 3, 4  |
        | 2      | 1, 4     |
        | 3      | 1        |
        | 4      | 1, 2     |
        | 5      | 6        |
        | 6      | 5        |

        Speicherplatz: $\sum\limits_{u \in V} | \Gamma(u) | = \sum\limits_{u \in V} deg(u) = 2 |E| \Rightarrow O(n+|E|)
        = O(|V| + |E|)$

        * testen ob $\{u,v\} \in E$ kostet $O(min\{deg(u), deg(v)\})$
        * berechnen von $\Gamma(u)$. Nachbarschaft entspricht genau der Adjazenzliste. $O(|\Gamma(u)|) = O(deg(u))$

b) Warteschlange

    *Beispiel*:

    i) Supermarkt
    ii) Kommunikationskanal

    **Abstraktion**: Sei $U$ eine endliche Menge. Eine Queue ist eine Datenstruktur mit folgenden Operationen:

    i) Erzeugen einer leeren Warteschlange `Q <- new Queue()`
    ii) Einfügen von Elementen in die Warteschlange `Q.enqueue(u)` mit $u \in U$
    iii) Entfernen des *zuerst* hinzugefügten Elements aus der Warteschlange `u <- Q.dequeue()`
    iv) Testen, ob die Warteschlange leer ist `Q.isEmpty()`

    Queue ist eine `FIFO` Datenstruktur

Damit können wir die Breitensuche beschreiben.

# Algorithmus (Breitensuche)

*Eingabe*: Graph $G = (V,E)$ mit $V = \{1,...,n\}$ als Adjazenzliste und sei $s \in V$

i) für alle $v \in V\setminus\{s\}$ setze `d[v] =` $\infty$ und `pred[v] = NIL`
i) `d[s] = 0`
i) `Q <- new Queue()`
i) `Q.enqueue(s)`
i) `while (!Q.isEmpty())`
    a) `v <- Q.dequeue()`
    a) Für alle $u \in \Gamma(v)$
        Falls `d[u] =` $\infty$ dann
        * setze `d[u] = d[v] + 1`
        * setze `pred[u] = v`
        * `Q.enqueue(u)`
i) *Ausgabe*: `d[u]`, `pred[u]` für alle $u \in V$

**Beispiel**:

Startknoten: $s = 1$

![Breitensuche](20181113_2-breitensuche.png)

| *Queue*     |
| ---         |
| **1**       |
| **2**, 4, 3 |
| **4**, 3, 5 |
| **3**, 5    |
| **5**       |

| v         | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   |
| ---       | --- | --- | --- | --- | --- |
| `d[v]`    | 0   | 1   | 1   | 1   | 2   |
| `pred[v]` |     | 1   | 1   | 1   | 2   |

# Satz (Breitensuche)

Sie Breitensuche liefert für den Startknoten $s$ die kürzesten $u$-$s$-Pfade für alle $u \in V$ als `p = (u, pred[u],
pred[pred[u]], ..., s)` in Laufzeit $O(|V| + |E|)$

# Beweis (Breitensuche)

i) Laufzeit ist klar
i) **Korrektheit**
    Für $u \in V$ ist `p = (u, pred[u], pred[pred[u]], ..., s)` ein Pfad in $G$ (da jeder Knoten maximal einmal in die
    Queue eingefügt wird, gibt es keine Knotenwiederholung). Die Länge von `p` ist `d[u]`, da
    * `d[u] - 1 = d[pred[u]]`
    * `d[pred[pred[u]]] = d[pred[u]] - 1 = d[u] - 2`

    usw. bis `d[s] = 0`.

    Sei $p' = (v_0 = u, v_1, ... v_k = s)$ ein weiterer $u$-$s$-Pfad. Zu zeigen: `d[u]` $\leq$ `k`. Es gilt für alle
    $\{u',v'\} \in E$

    ```
    d[v'] <= d[u'] + 1
    ```

    $\Rightarrow d[u] \leq d[v_1] + 1 \leq d[v_2] + 2 \leq ... \leq d[v_k] + k \leq d[s] + k = k$

    $$
    \tag*{$\Box$}
    $$

# Satz (Breitensuche $\to$ Spannbaum)

Breitensuche liefert bei Eingabe eines zusammenhängenden Graph $G = (V,E)$ und $s \in V$ einen Spannbaum $T=(V,E')$ mit
$E' = \{\{u, pred[u]\} \mid u \in V \setminus \{s\}\}$ von $G$.

# Beweis (Breitensuche $\to$ Spannbaum)

Zu zeigen: $T$ ist Spannbaum von $G$, das heißt

i) $T$ ist zusammenhängend

    Für $u,v \in V$ sind

    * $p = (u, pred[u], ..., s$
    * $p' = (v, pred[v], ..., s$

    Pfade in $T$. Damit ist $u \sim v$ und $v \sim u$ in $T$ und damit (Transitivität) $u \sim v$ in T

    $\Rightarrow T$ ist zusammenhängend

i) $T$ ist kreisfrei

    $T$ ist kreisfrei, da $T$ zusammenhängend und $|E'| = |V| + 1$ (siehe Übung)

$$
\tag*{$\Box$}
$$