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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {7}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 7.1}

Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Mit $G^c := (V,(\frac{V}{2})\setminus E )$ bezeichnen wir den zu G komplementären Graphen. In Hausübung 6.3 wurde definiert, wann ein Graph asymmetrisch ist.	Zeige: G ist asymmetrisch $\Leftrightarrow G^c$ ist asymmetrisch\\
\\
\noindent		
Definition Asymmetrisch:\\
Sei $G = (V,E)$ ein ungerichteter Graph. Ein Automorphismus von G ist ein Isomorphismus
von G auf sich selbst, d.h. eine Bijektion $f : V \rightarrow V$ , so dass $\{u,v\} \in E$ genau dann, wenn
$\{f(u),f(v)\}g \in E$. Ein Graph heißt genau dann asymmetrisch, wenn die Identität der einzige
Automorphismus ist.\\
\\
\noindent
\textbf{BEWEIS:}\\
Seien $G=(V_1,E_1)$ und $G^c=(V_2,E_2)$ zwei Graphen, wobei $G^c$ der Komplementgraph von G ist.\\
\\
\noindent
G hat einen Automorphismus f.\\
$\Leftrightarrow$\\
Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_1$ (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt).\\
$\Leftrightarrow$\\
Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_1$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_1$  (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
$\Leftrightarrow$ (*)(**)\\
Für alle Kanten $\{u,v\} \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \in E_2$  (also eine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
$\Leftrightarrow$\\
Für alle Nichtkanten $\{u,v\} \not \in E_2$ ist $\{f(u),f(v)\} \not \in E_2$  (also keine Kante und gleiches gilt umgekehrt)\\
$\Leftrightarrow$\\
$G^c$ hat einen Automorphismus f.\\
\\
\noindent
G asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von G und somit auch von $G^c$.
$G^c$ kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf G bildet.\\
\\
$G^c$ asymmetrisch dann ist \textbf{nur} die Identität ein Automorphismus von $G^c$ und somit auch von G.
G kann keinen weiteren Automorphismen haben, da dieser sonst einen Automorphismus auf $G^c$ bildet.\\
\\
(*) $\{(u,v)\}$ Kante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Nichtkante in $G^c$\\
(**) $\{(u,v)\}$ Nichtkante in G $\Leftrightarrow$ $\{(u,v)\}$ Kante in $G^c$

\end{document}