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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {7}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 7.4}

\begin{enumerate}[1.]

    \item Sei $G = (V, E)$ ein Graph mit $|V| = 7$ und $|E| = 16$

        Ein Graph ist planar, falls $|E| \leq 3 |V| - 6$

        $16 \geq 3 * 7 - 6 = 15 \Rightarrow G$ ist nicht planar

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics[width=\textwidth]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_1.jpg}
            \caption{Planarer Graph $G=(V,E)$ mit $|V| = 7$ und $|E| = 15$}
        \end{figure}

    \item Ein Teilgraph von $G$ lässt sich folgendermaßen Zeichnen (Abbildung \ref{TG}):

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2a.jpg}
            \caption{Teilgraph von G}
            \label{TG}
        \end{figure}

        Nach entfernen der Unterteilungen durch die Konten $3,6,7$ und $9$, erhält man folgenden Graphen (Abbildung
        \ref{TGU}):

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2b.jpg}
            \caption{Teilgraph von G nach entfernen der Unterteilungen}
            \label{TGU}
        \end{figure}

        Dieser Graph ist $K_5$. Damit wurde gezeigt, dass $G$ den Graphen $K_5$ enthält. $K_5$ ist nicht planar und
        damit ist auch jeder Graph, der $K_5$ enthält, nicht planar.

\end{enumerate}

\end{document}