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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {10}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 10.3}

\begin{enumerate}[1.]

    \item
        \begin{align*}
            29^n \mod 10
        \end{align*}

        Primzahlen sind nur duchr 1 und sich selbst zeilbar

        $29^n \equiv 9^n \mod 10$

        \begin{align*}
            9^1 &= 9 \\
            9^2 &= 81 \\
            9^3 &= 729 \\
            9^4 &= 6561 \\
            9^5 &= 59049 \\
            9^6 &= 531441
        \end{align*}

        $\Rightarrow$ $9*9$ ergibt Zahl mit $1$ am Ende, $9*1$ ergibt Zahl mit $9$ am Ende.

        $\Rightarrow$ Alle Potenzten von $9$ haben am Ende eine $9$ oder $1$ stehen

        $\Rightarrow$ ist $n$ gerade $\Rightarrow$ Dez. Darstellung von $29^n$ endet auf $1$
        $\Rightarrow$ ist $n$ ungerade $\Rightarrow$ Dez. Darstellung von $29^n$ endet auf $9$

    \item
        \begin{align*}
            11^{21} &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{10} 11^2) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{10} 121) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{10} 21) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{5} 21^2) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{5} 441) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{5} 41) * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{2} 41^2) * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{2} 1681) * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv (\prod\limits_{i = 1}^{2} 81) * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 81 * 81 * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 6561 * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 61 * 41 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 2501 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 1 * 11 &\mod 100 \\
            \equiv 11 &\mod 100
        \end{align*}

        Die letzten beiden Dezimalstellen von $11^{21}$ sind $11$.

\end{enumerate}

\end{document}