\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{paralist}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
% \def \pname {Vorname2 Nachname2}				%
% \def \pmatrikel {Matrikelnummer2}				%
\def \gruppe {Gruppe 193}					%
\def \uebung {1}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\
% \noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol


\section*{Aufgabe 2}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item
		\begin{eqnarray*}
A &\text{:}&  23 \to{} 0.02 \\
B &\text{:}&   5 \to{} 0.00 \\
C &\text{:}&  22 \to{} 0.02 \\
D &\text{:}&   8 \to{} 0.01 \\
E &\text{:}&  17 \to{} 0.02 \\
F &\text{:}&   2 \to{} 0.00 \\
G &\text{:}&  80 \to{} 0.07 \\
J &\text{:}&  66 \to{} 0.06 \\
K &\text{:}&  39 \to{} 0.04 \\
L &\text{:}&  47 \to{} 0.04 \\
M &\text{:}&   2 \to{} 0.00 \\
N &\text{:}&  17 \to{} 0.02 \\
O &\text{:}&  63 \to{} 0.06 \\
P &\text{:}&  80 \to{} 0.07 \\
Q &\text{:}&  62 \to{} 0.06 \\
R &\text{:}&  57 \to{} 0.05 \\
S &\text{:}& 136 \to{} 0.12 \\
T &\text{:}&   6 \to{} 0.01 \\
U &\text{:}&  57 \to{} 0.05 \\
V &\text{:}&   6 \to{} 0.01 \\
W &\text{:}&  76 \to{} 0.07 \\
X &\text{:}&  25 \to{} 0.02 \\
Y &\text{:}&   8 \to{} 0.01 \\
Z &\text{:}&  83 \to{} 0.08 \\
\text{\"A} &\text{:}&  43 \to{} 0.04 \\
\text{\"O} &\text{:}&  14 \to{} 0.01 \\
\text{\"U} &\text{:}&  28 \to{} 0.03 \\
\text{ß} &\text{:}&  18 \to{} 0.02 \\
sum &\text{:}& 1090
		\end{eqnarray*}

	\item
		\begin{displayquote}
		gründlich durchgecheckt steht sie da \\
		und wartet auf den start - alles klar! \\
		experten streiten sich um ein paar daten \\
		die crew hat da noch ein paar fragen \\
		doch der countdown läuft \\
		\end{displayquote}

	\item
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			von & zu \\\hline
			A & f \\
			B & ä \\
			C & g \\
			D & j \\
			E & ö \\
			F & x \\
			G & n \\
			J & i \\
			K & m \\
			L & c \\
			M & ß \\
			N & v \\
			O & d \\
			P & r \\
			Q & a \\
			R & l \\
			S & e \\
			T & ü \\
			U & h \\
			V & z \\
			W & t \\
			X & w \\
			Y & p \\
			Z & s \\
			Ä & o \\
			Ö & b \\
			Ü & u \\
			ß & k \\
			H/I & q/y \\
			\hline
		\end{tabular}

		Weder H noch I kommen im Ciphertext vor, daher ist es nicht möglich, die Substitution von H/I eindeutig zu
		bestimmen. Da jedoch auch weder q noch y im Plaintext vorkommen, muss entweder $H \to q \text{ und } I \to y$
		oder $H \to y \text{ und } I \to q$ gelten.

	\item $30! = \vert \{A,B,...Z,\text{Ä},\text{Ö},\text{Ü},\text{ß}\} \vert!$ = 265252859812191058636308480000000

	\item Name des Textes: Major Tom (völlig losgelöst) \\
		Erscheinungsjahr: 1982

\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 3}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808$
	\item $2^{63} * 0.03g = 276,701,161,105,643,260g \approx 276,701,161,106t$ \\
		$277 \cdot 10^9 / 460 \cdot 10^6 \approx 602 \Rightarrow$ mehr als das 600-fache der jährlichen Reisernte

	\item $2^{10} * 0.1mm = 102.4mm = 1.024m$

	\item
		\begin{eqnarray*}
			2^n * 0.1mm &\geq{}& 1,000,000mm \\
			2^n &\geq{}& 10000000 \\
			n &\geq{}& 24
		\end{eqnarray*}
		Man muss das Blatt 24 mal falten.

	\item
		\begin{eqnarray*}
			2^n * 0.1mm &\geq{}& 384,400,000,000mm \\
			2^n &\geq{}& 3,844,000,000,000 \\
			n &\geq{}& 42
		\end{eqnarray*}
		Man muss das Blatt 42 mal falten.

	\item
		\begin{eqnarray*}
			2^n * 0.1mm &\geq{}& 9,460,730,472,580,800,000mm \\
			2^n &\geq{}& 94,607,304,725,808,000,000mm \\
			n &\geq{}& 67
		\end{eqnarray*}
		Man muss das Blatt 67 mal falten.
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 4}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $2^n$

	\item $\frac{2^n}{2}$

	\item Gerechnet mit $1y = 365d$
		\begin{figure}[h]
			\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
				\hline
				\diagbox{Case}{$n$} & 80 & 112 & 192 \\\hline
				Worst Case & $2.50 * 10^8y$ & $1.08 * 10^{18}y$ & $1.30 * 10^{42}y$ \\\hline
				Average Case & $1.25 * 10^8y$ & $5.38 * 10^{17}y$ & $6.50 * 10^{41}y$ \\\hline
			\end{tabular}
			\caption{GPU}
		\end{figure}

		\begin{figure}[h]
			\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
				\hline
				\diagbox{Case}{$n$} & 80 & 112 & 192 \\\hline
				Worst Case & $5.81 * 10^7y$ & $2.49 * 10^{17}y$ & $3.02 * 10^{41}y$ \\\hline
				Average Case & $2.90 * 10^7y$ & $1.25 * 10^{17}y$ & $1.51 * 10^{41}y$ \\\hline
			\end{tabular}
			\caption{Amazon Cloud}
		\end{figure}

		\begin{figure}[h]
			\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
				\hline
				\diagbox{Case}{$n$} & 80 & 112 & 192 \\\hline
				Worst Case & $3.41 * 10^7y$ & $1.46 * 10^{17}y$ & $1.77 * 10^{41}y$ \\\hline
				Average Case & $1.70 * 10^7y$ & $7.32 * 10^{16}y$ & $8.85 * 10^{40}y$ \\\hline
			\end{tabular}
			\caption{FPGA}
		\end{figure}

	\item Unter Anwendung der Erkenntnisse aus~\ref{(e)}:
		\begin{eqnarray*}
			n &=& 80 \\
			n + w &=& 112 \\
			w &=& 32 \\
			t_x &=& \frac{2^{112} - 2^{80}}{r_x} \\
			r_{GPU} &=& 15.3 * 10^7 \frac{k}{s} \\
			r_{Amazon} &=& 66 * 10^7 \frac{k}{s} \\
			r_{FPGA} &=& 11.25 * 10^8 \frac{k}{s} \\
					 &\Rightarrow{}& \\
			t_{GPU} &=& 1.06 * 10^{18}y \\
			t_{Amazon} &=& 2.49 * 10^{17}y \\
			t_{FPGA} &=& 1.46 * 10^{17}y \\
		\end{eqnarray*}

	\item\label{(e)}
		\begin{itemize}
			\item $r$: Rechenleistung in $\frac{\text{Schlüssel}}{s}$
			\item $n$: Aktuelle Bit Länge der Schlüssel
			\item $w$: Verlängerung der Schlüssellänge um $w$ Bit
			\item $t$: Gesucht: Wie viel langsamer der Angriff wird
		\end{itemize}
		\begin{eqnarray*}
			\frac{2^n}{r} + t &=& \frac{2^{n+w}}{r} \\
			t &=& \frac{2^{n+w} - 2^n}{r} \\
			t &=& \frac{2^n(2^w-1)}{r}
		\end{eqnarray*}

	\item
		\begin{eqnarray*}
			183d &=& 4392h \\\\
			\frac{4392}{2^n} &\leq{}& 1 \\
			n &\geq{}& 13 \Rightarrow \text{ 13 Verdoppelungen der Rechenleistung} \\\\
			13 * 18m &=& 234 m = 19.5y \approx 20y \\
			1992 + 20 &=& 2012
		\end{eqnarray*}

		Seit dem Jahr 2012 sollte es möglich sein, 50-bit Keys in weniger als 1 Stunde zu Bruteforcen.
\end{enumerate}

\end{document}

