\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \uebung {2}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 2.1}
\begin{enumerate}[1.]
	\item Kekse $\widehat{=}$ Bälle (unterscheidbar, da \enquote{verschieden}), Portionen $\widehat{=}$ Urnen (nicht
		unterscheidbar). $n = 9$, $k = 5$

		Problem entspricht einer ungeordneten $k$-Mengenpartition, also $S_{n,k}$

		\begin{tabular}{c|cccccccccc}
			$n/k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline
			0 & 1 &&&&&&&&& \\
			1 & 0 & 1 & &  & & & & & & \\
			2 & 0 & 1 & 1  & & & & & & & \\
			3 & 0 &1 &3 &1  & & & & & & \\
			4 & 0 &1 &7 &6 &1  & & & & & \\
			5 & 0 &1 &15 &25 &10 &1  & & & & \\
			6 & 0 &1 &31 &90 &65 &15 &1  & & & \\
			7 & 0 &1 &63 &301 &350 &140 &21 &1  & & \\
			8 & 0 &1 &127 &966 &1701 &1050 &266 &28 &1  & \\
			9 & 0 &1 &255 &3025 &7770 &\underline{6951} &2646 &462 &36 &1  \\
		\end{tabular}

		\begin{eqnarray*}
			S_{n,k} &=& S_{n-1,k-1} + k * S_{n-1,k} \text{ mit} \\
			S_{0,0} &=& 1 \\
			S_{n,n} &=& 1 \\
			S_{n,1} &=& 1 \\
			S_{n,0} &=& 0 \\\\
			S_{9,5} &=& 6951
		\end{eqnarray*}

	\item Bälle weiterhin unterscheidbar, Urnen jetzt auch unterscheidbar $\Rightarrow$ geordnete Mengenpartition.

		\begin{eqnarray*}
			k! * S_{n.k} &=& 5! * S_{9,5} \\
						 &=& 120 * 6951 \\
						 &=& 834120
		\end{eqnarray*}

	\item Jetzt gilt Teller $\widehat{=}$ Ball, Keks $\widehat{=}$ Urne. $n = 5$, $k = 3$.

		Urnen sind unterscheidbar, \enquote{fünfgangiges Menü} $\Rightarrow$ Bälle sind auch untescheidbar

		\begin{eqnarray*}
			n^{\underline{k}} &=& 5^{\underline{3}} \\
							  &=& 5 * 4 * 3 \\
							  &=& 60
		\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{document}

