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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {7}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 7.3}

\begin{enumerate}[1.]

    \item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Startknoten: Einen der inneren oder einen der äußeren
        Knoten

        Fallunterscheidung:

        \begin{enumerate}[i)]
            \item Starten bei einem inneren Knoten:

            \item Starten bei einem äußeren Knoten
        \end{enumerate}

    \item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Arten von Knoten, von denen einer entfernt werden
        kann.

        \begin{enumerate}[i)]

            \item Entfernen eines inneren Knoten ($2$):

                Hamiltonkreis: $(1,3,4,8,10,9,7,5,6,1)$

                \begin{figure}[h!]
                \centering
                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{school/di-ma/uebung/07/07_3_b_1.jpg}
                \caption{Entfernen eines inneren Knoten}
                \end{figure}

            \item Entefernen eines äußeren Knoten ($1$):

                Hamiltonkreis: $(2,7,9,3,4,5,6,10,8,2)$

                \begin{figure}[h!]
                \centering
                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{school/di-ma/uebung/07/07_3_b_2.jpg}
                \caption{Entfernen eines äußeren Knoten}
                \end{figure}

        \end{enumerate}

        Für alle (unterscheidbaren) Möglichkeiten, einen Knoten zu entfernen, wurde gezeigt, dass es einen
        Hamiltonkreis gibt und der Graph damit hamiltonsch ist.

        q.e.d.

\end{enumerate}

\end{document}
