\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {4}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 4.1}

Aufbau des Beweises: Einführen von Aussage iv) \enquote{G ist ein Baum} und zeigen von
\begin{enumerate}
    \item i) $\Leftrightarrow$ iv)
    \item ii) $\Leftrightarrow$ iv)
    \item iii) $\Leftrightarrow$ iv)
\end{enumerate}

$\Rightarrow$ i) $\Leftrightarrow$ ii) $\Leftrightarrow$ iii)

\begin{enumerate}[i)]

    \item Je zwei Koten in $G$ sind durch genau einen Pfad miteinander verbunden.

    \item $G$ ist zusammenhängend und es gilt $|V| = |E| + 1$

    \item $G$ besitzt keinen einfachen Kreis und es gilt $|V| = |E| + 1$

    \item $G$ ist ein Baum

\end{enumerate}

\begin{itemize}

    \item i) $\Rightarrow$ iv)
        \begin{itemize}
            \item Ein Pfad zwischen je 2 Knoten $\Rightarrow G$ ist zusammenhängend
            \item \underline{Genau} ein Pfad zwischen je 2 Knoten $\Rightarrow G$ ist kreisfrei
        \end{itemize}

        $\Rightarrow G$ ist ein Baum

    \item ii) $\Rightarrow$ iv)
        \begin{itemize}
            \item $G$ ist zusammenhängend
            \item Annahme: $G$ ist nicht kreisfrei

                Ein zusammenhängender Graph mit $|V|$ Knoten hat mindestens $|E| = |V| - 1$ Kanten. Dieser minimale
                Graph ist aber kreisfrei

                Um einen Kreis zu erzeugen, müsste also eine zusätzliche Kante hinzugefügt werden. Damit wäre |V| = |E|,
                was der gegebenen Formel widerspricht.

                $\Rightarrow G$ ist kreisfrei
        \end{itemize}

        $\Rightarrow G$ ist ein Baum

    \item ii) $\Rightarrow$ iv)
        \begin{itemize}
            \item $G$ ist kreisfrei
            \item Annahme: $G$ ist nicht zusammenhängend

                Es gibt $|V| - |E| > 1$ kreisfreie Zusammenhangskomponenten $\Rightarrow$ Widerspruch zu $|V| = |E| + 1$

                $\Rightarrow G$ ist zusammenhängend
        \end{itemize}

        $\Rightarrow G$ ist ein Baum

    \item iv) $\Rightarrow$ i)
        \begin{itemize}
            \item $G$ ist zusammenhängend $\Rightarrow$ Es gibt einen Pfad zwischen je 2 Knoten
            \item $G$ ist kreisfrei $\Rightarrow$ Es gibt \underline{genau} einen Pfad zwischen je 2 Knoten
        \end{itemize}

    \item iv) $\Rightarrow$ ii)
        \begin{itemize}
            \item $G$ ist zusammenhängend
            \item $|V| = |E| + 1$ gilt in jedem Baum
        \end{itemize}

    \item iv) $\Rightarrow$ iii)
        \begin{itemize}
            \item $G$ ist kreisfrei
            \item $|V| = |E| + 1$ gilt in jedem Baum
        \end{itemize}

\end{itemize}

Es wurde gezeigt i) $\Leftrightarrow$ iv), ii) $\Leftrightarrow$ iv) und iii) $\Leftrightarrow$ iv).

$\Rightarrow$ i) $\Leftrightarrow$ ii) $\Leftrightarrow$ iii)

q.e.d.

\end{document}

