\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{tikz}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {4}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 4.4}

Zu zeigen: Wenn ein Baum genau $k \geq 1$ Knoten vom Grad 4 enthält (außer Blätter), dann besitzt der Baum mindestens
$2 \cdot k + 2$ Blätter.\\
\\
IA: Ein Baum mit nur einem Knoten von Grad 4 muss 4 Blätter haben

\begin{tikzpicture}
    \node[draw,circle] (1) at (2,1) {1};
    \node[draw,circle] (2) at (0,0) {2};
    \node[draw,circle] (3) at (1,0) {3};
    \node[draw,circle] (4) at (3,0) {4};
    \node[draw,circle] (5) at (4,0) {5};

    \draw (1)--(2);
    \draw (1)--(3);
    \draw (1)--(4);
    \draw (1)--(5);
\end{tikzpicture}
\\
$A(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$\\
\\
\textbf{IV: $A(k) = 2 \cdot k +2$}\\
\\
IS: $k \rightarrow k+1$\\
Um einen Knoten mit Grad 4 hinzuzufügen, kann man nun eines der Blätter nehmen und drei Blätter anhängen. Man bekommt
also 3 Blätter hinzu, verliert aber auch eines, da dieses zum neuen Knoten wird.\\
\\
$A(k+1) = A(k) + 3 - 1 \overset{(IV)}{=} (2 \cdot k+2)+3-1$ 
$= 2 \cdot (k+1)+2$\\
q.e.d

\end{document}

