---
title: Bälle und Urnen
date: 2018-10-23
---

**Gegeben**: $n$ Bälle, $m$ Urnen

**Frage**: Wie viele Möglichkeiten gib es, diese Bälle auf die Urnen zu verteilen?

Antwort ist abhängig davon, was man genau möchte.

* Bälle/Urnen (nicht) unterscheidbar
* In jeder Urne höchstens ein Ball (injektiv) $\Rightarrow m \geq n$
* In jeder Urne mindestens ein Ball (surjektiv) $\Rightarrow n \geq m$
* In jeder Urne genau ein Ball (bijektiv) $\Rightarrow n = m$

Notation:
* $U \widehat{=}$ unterscheidbar
* $N \widehat{=}$ nicht unterscheidbar

| ...            | beliebig                         | injektiv               | surjektiv             | bijektiv  |
| ---            | ---                              | ---                    | ---                   | ---       |
| B: $U$, U: $U$ | A: $m^n$                         | B: $n^{\underline{m}}$ | F: $m!s_{n,m}$        | $n! = m!$ |
| B: $N$, U: $U$ | D: $\binom{m+n-1}{n}$            | C: $\binom{m}{n}$      | H: $\binom{n-1}{m-1}$ | 1         |
| B: $U$, U: $N$ | I: $\sum\limits_{k=1}^m S_{n,k}$ | 1                      | E: $S_{n,m}$          | 1         |
| B: $N$, U: $N$ | J: $\sum\limits_{k=1}^m P_{n,k}$ | 1                      | G: $P_{n,m}$          | 1         |

Die Fälle A-D entsprechen genau den Fällen A-D beim ziehen von $n$ Elementen aus einer $m$-elementingen Menge (gezogen
werden Urnen für die Bälle).

**Fall E**: Betrachte die Menge der Bälle. Aufteilen auf $m$ Urnen entspricht einer (ungeordneten) $m$-Mengenpartition.
Also $S_{n,m}$ Möglichkeiten.

**Fall F**: Entspricht der geordneten Mengenpartition (analog zu Fall E). Davon gibt es $m! * S_{n,m}$ Möglichkeiten, da
es $m!$ Möglichkeiten gibt, eine ungeordnete Partition anzuordnen

**Fall G**: Es kommt nur auf die Anzahl der Bälle in den Urnen an. Damit entspricht jede Möglichkeit einer ungeordneten
Zahlpartition von $n$. Surjektivität bedeutet alle Summanden mindestens $1$.

**Fall H**: Entspricht den geordneten Zahlpartitionen.

**Fall I und J**: Im Gegensatz zu Fall E und G können hier Urnen leer bleiben. Wir betrachten die disjunkten Fälle, dass
in $k \in \{1,...,m\}$ Urnen Bälle landen.