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title: Kantenfärbung
date: 2018-12-04
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**Beispiel**: $n$ Teams $\widehat{=}$ Knoten, $m$ Partien zwischen je 2 Teams
$\widehat{=} Kanten$

![Graph](20181204_1-kantenfaerbung.png)

Festlegen der Termine, an denen die SPiele stattfinden (Termine haben Nummern
$1,...,k$).

**Frage**: Wie viele Termine braucht man?

**Bedingung**: Kein Team kann an einem Termin 2 Spiele spielen


# Definition (Kantenfärbung)

Sei $G=(V,E)$ ein Graph.

i) Eine Kantenfärbung ist eine Abbildung
    $$
    c : E \rightarrow \{1,...,k\}
    $$
    mit der Eigenschaft
    $$
    \forall e,e' \in E, e \neq e' \land e \cap e' = \emptyset : c(e) \neq c(e')
    $$

i) Ein Graph heißt $k$-kantenfärbbar, falls es eine $k$-Kantenfärbung für $G$
gibt.

i) Der **chromatische Index** $\chi'(G)$ ist definiert als
    $$
    \chi'(G) = \min \{k \in \mathbb{N} \mid
    G \text{ ist } k \text{-kantenfärbbar}\}
    $$
    
    
**Bemerkung**: Es gilt $\chi'(G) \geq \Delta(G)$ mit $\Delta(G) =
\max\limits_{v \in V} deg(v)$, da alle $\Delta(G)$ Kanten eines Knotens $v$ mit
$deg(v) = \Delta(G)$ unterschiedliche Farben haben müssen.

Es gilt sogar:

# Satz

Sei $G=(V,E)$ Graph, dann gilt
$$
\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1
$$

ohne Beweis

$$
\tag*{$\Box$}
$$


**Bemerkung**: zu entscheiden, ob $\chi'(G) = \Delta(G)$ oder
$\chi'(G)=\Delta(G)+1$ ist im Allgemeinen ein schweres Problem.