\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {5}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 5.2}


Zu zeigen: Ein zusammenhängender Graph $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ ist ein Baum.\\
\noindent
Nach Definition ist ein Baum ein kreisfreier zusammenhängender Graph.
Es gilt für G zu zeigen:, dass
\begin{itemize}
    \item G ist kreisfrei
    \item G ist zusammenhängend (nach Aufgabenstellung bereits erfüllt)
\end{itemize}
\noindent
\textbf{Beweis durch Widerspruch}\\
Annahme: Es gibt einen Kreis (1,...,k) in G, wobei $k \in \mathbb{N} $ und $1\leq k \leq n$ $(V=\{1,...,n\})$.\\
\noindent
Die Knoten 1 bis k sind durch einen Pfad mit (k-1) Knoten verbunden. Eine weitere Kante besteht zwischen k und 1, da es
sich um einen Kreis handelt. Da der Graph zusammenhängend ist, gibt es weitere (n-k) Knoten, die nicht im Kreis liegen
und durch eine Kante mit dem Graphen verbunden sind.\\
\\
\noindent
$\Rightarrow |E|=(k-1)+1+(n-k)=n=|V|$\\
Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass gilt $|E|=|V|-1$.
$\Rightarrow$ G ist somit Kreisfrei.\\
\\
\noindent
Insgesamt folgt damit, dass $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ kreisfrei und zusammenhängend ist. Somit ist G ein Baum.\\
q.e.d.

\end{document}
