\documentclass[12pt,a4paper,german]{article} \usepackage{url} %\usepackage{graphics} \usepackage{times} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{pifont} \usepackage{ngerman} \usepackage{float} \usepackage{diagbox} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{geometry} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{delarray} % \usepackage{minted} \usepackage{csquotes} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsfig} \usepackage{longtable} \usepackage{paralist} \geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm} \graphicspath{.} %%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%% \def \name {Valentin Brandl} % \def \matrikel {108018274494} % % \def \pname {Vorname2 Nachname2} % % \def \pmatrikel {Matrikelnummer2} % \def \gruppe {Gruppe 193} % \def \uebung {7} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % DO NOT MODIFY THIS HEADER \newcommand{\hwsol}{ \vspace*{-2cm} \noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\ % \noindent \pmatrikel \quad \pname \\ \begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center} } \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% \newcommand{\csquare}{\text{\rlap{$\checkmark$}}\square}% \begin{document} %Import header \hwsol \section*{Aufgabe 1} $P(x) = x^4 + x + 1$ und $grad(P(X)) = 4$ \begin{enumerate}[a)] \item $GF(2) = GF(2^1)$. Maximaler Grad von $G(p^m)$ ist $(m-1)$, maximaler Grad von $GF(2^1)$ ist also $1-1=0$, es sind also nur die polynome $a_1(x) = 0$ und $a_2(x) = 1$ möglich. Beide haben einen Grad $< 4$, also gibt es $2$ Polynome in $GF(2)$, deren Grad kleiner ist, als $grad(P(x))$. \item $GF(p^n)$: Alle $a_i$ des Polynoms sind Elemente der Menge $A = \{0,1,...,p-1\} \Rightarrow |A| = p$. Jedes Polynom besteht aus $n$ Koeffizienten, daher hat hat $GF(p^n)$ genau $p^n$ mögliche Polynome. Da der Grad der Polynome $< 4$ sein soll, muss $n$ also $\leq 4$ sein. Abhängig von $p$ sind also $4$ mögliche Werte für $n$ denkbar, sodass der Grad $< 4$ bleibt \begin{tabular}{|c|c|} \hline $n$ & \# Polynome \\\hline 1 & $p$ \\\hline 2 & $p^2$ \\\hline 3 & $p^3$ \\\hline 4 & $p^4$ \\\hline \end{tabular} \end{enumerate} \section*{Aufgabe 2} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\cdot$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 5 & 7 & 1 & 3 \\\hline 3 & 0 & 3 & 6 & 5 & 1 & 2 & 7 & 4 \\\hline 4 & 0 & 4 & 5 & 1 & 7 & 3 & 2 & 5 \\\hline 5 & 0 & 5 & 7 & 2 & 3 & 6 & 4 & 3 \\\hline 6 & 0 & 6 & 1 & 7 & 2 & 4 & 6 & 5 \\\hline 7 & 0 & 7 & 3 & 4 & 5 & 3 & 5 & 2 \\\hline \end{tabular} \section*{Aufgabe 3} $P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1$ \begin{enumerate}[a)] \item \begin{align*} A(x) &= x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + x + 1 \\ B(x) &= x^2 + x \\ A(x) * B(x) &= x^9+x^7+x^5+x^4+x \equiv x^7+x^2+1 &\mod P(x) \\ &= 0x85 \end{align*} \item \begin{align*} A(x) &= x^4 + x^2 + x + 1 \\ B(x) &= x^4 + 1 \\ A(x) * B(x) &= x^8 + x^6 + x^5 + x^2 + x + 1 \equiv x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 &\mod P(x) \\ &= 0x7C \end{align*} \item \begin{align*} A(x) &= x^6 + x^5 + x^2 + x \\ B(x) &= x^2 + x + 1 \\ A(x) * B(x) &= x^5 + x^4 + x &\mod P(x) \\ &= 0x32 \end{align*} \end{enumerate} \section*{Aufgabe 4} Die multiplikativen Inversen wurden aus der Tabelle 4.2 im Buch abgelesen. $P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1$ \begin{enumerate}[a)] \item \begin{align*} A(x) &= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 \\ B(x) &= x^5 + x^2 + 1 \widehat{=} 0x25 \\ B^{-1}(x) &= 0x4D \widehat{=} x^6 + x^3 + x^2 + 1 \\ A(x) \div B(x) &= A(x) * B^{-1}(x) = \\ &= x^{11} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^5 + x^3 \equiv x^5 + x^3 + x &\mod P(x) \\ &\widehat{=} 0x2A \end{align*} \item \begin{align*} A(x) &= x^7 + x^2 + x + 1 \\ B(x) &= x^6 + x^4 + x^3 + x^2 \widehat{=} 0x5C \\ B^{-1}(x) &= 0x51 \widehat{=} x^6 + x^4 + 1 \\ A(x) \div B(x) &= A(x) * B^{-1}(x) = \\ &= x^{13} + x^{11} + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 \equiv x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 &\mod P(x) \\ &\widehat{=} 0xB9 \end{align*} \end{enumerate} \section*{Aufgabe 5} $P(x) = x^4 + x^2 + 3x + 5$ \begin{enumerate}[a)] \item \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline $+$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 6 \\\hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\\hline 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\\hline 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\\hline 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline \end{tabular} \item \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\cdot$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\\hline 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\\hline 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\\hline 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\\hline 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\hline \end{tabular} \item \begin{enumerate}[i)] \item \begin{align*} A(x) &= 3x^2 + x + 2 \\ B(x) &= 6x^4 + 4x^2 + 3x + 5 \\ A(x) + B(x) &= 6x^4 + 4x &\mod P(x) \end{align*} \item Nein, da $A(x) + B(x)$ auch ohne die Moduloreduktion keinen Koeffizienten mit einem Grad $> 6$ hat \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[i)] \item \begin{align*} A(x) &= 3x^3 + x + 2 \\ B(x) &= 6x^3 + 4x^2 + 3x + 5 \\ A(x) - B(x) &= 4x^3 + 3x^2 + 5x + 4 &\mod P(x) \end{align*} \item Nein, da $A(x) - B(x)$ auch ohne die Moduloreduktion keinen Koeffizienten mit einem Grad $> 6$ hat \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[i)] \item \begin{align*} A(x) &= 5x^4 + x + 2 \\ B(x) &= 3x^3 + 5x^2 + 4 \\ A(x) * B(x) &= x^7 + 4x^6 + 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 4x + 1 &\mod P(x) \\ &\equiv 2x^3 + 5x^2 + 3x + 5 &\mod P(x) \end{align*} \item \begin{align*} A(x) &= x^3 + 2x + 4 \\ B(x) &= 4x^4 + 6x^3 + 3 \\ A(x) * B(x) &= 4x^7 + 6x^6 + 6x^5 + 6x^3 + 6x + 5 &\mod P(x) \\ &\equiv x^3 + 3x^2 + x + 4 &\mod P(x) \end{align*} \end{enumerate} \item \begin{align*} x^4 &\equiv 6x^2 + 4x + 2 &\mod P(x) \\ x^5 &\equiv 6x^3 + 4x^2 + 2x &\mod P(x) \\ x^6 &\equiv 4x^3 + x^2 + 5x + 5 &\mod P(x) \\ x^7 &\equiv 3x^3 + 6x^2 + 1 &\mod P(x) \\ \end{align*} \end{enumerate} \end{document}