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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {8}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 8.1}

Sei $H_d$ der $d$-dimensionale Hyperwürfel.

\begin{itemize}

    \item IA: $H_1$ und $H_2$ sind hamiltonsch:

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.png}
            \caption{$H_1$ mit Hamiltonkreis $(0,1,0)$}
        \end{figure}

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.png}
            \caption{$H_2$ mit Hamiltonkreis $(00,01,11,10,00)$}
        \end{figure}

    \item Zu zeigen: Wenn $H_d$ hamiltonsch ist, ist auch $H_{d+1}$ hamiltonsch.

    \item Jeder weitere Hyperwürfel $H_{d+1}$ entsteht, indem man zwei mal $H_d$ nimmt und an jeden Knoten in der
        ersten Kopie eine $0$ und an jeden Knoten der zweiten Kopie eine $1$ anhängt. Anschließend werden alle Knoten
        aus der ersten und zweiten Kopie, die sich nur in der letzten Position unterscheiden, verbunden.

    \item $H_{d+1}$ besteht also jetzt schon aus 2 Kreisen $k_0, k_1$, den Hamiltonkreisen in den beiden Kopien von
        $H_d$. $k_n$ sei ein Hamiltonkreis in $H_d$, bei dem an jeden Knoten $n$ angehangen wird um der Benennung von
        $H_{d+1}$ zu entsprechen.

    \item Durchlaufen von $k_0$ bis zum letzten Knoten, anschließendes wechseln zum letzten Knoten aus $k_1$,
        umgekehrtes durchlaufen von $k_1$ und anschließendes wechseln zum ersten Knoten aus $k_0$ liefert den
        Hamiltonkreis in $H_{d+1}$.

\end{itemize}

\end{document}
