\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {10}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 10.1}

Kriterium:
Eine Zahl $z \in \mathbb{N}$ ist durch 37 teilbar, wenn ihre nicht-alternierende hunderter-Quersumme durch 37 teilbar ist.\\
\\
Beweis: Sei $z=a_0+a_1 \cdot 10 + a_2 \cdot 10^2 + ... + a_n \cdot 10^n$.\\
Es gilt $37 |z \Leftrightarrow z \equiv 0 \text{ mod 37 }$\\
$\Rightarrow a_0+a_1\cdot 10 + a_2 \cdot 10^2 + ... + a_n \cdot 10^n \equiv 0 \text{ mod 37}$\\
Es gilt nun $10^3 \equiv 1 \text{ mod } 37$\\
\\
$\Rightarrow a_0 + a_1 \cdot 10^1 + a_2 \cdot 10^2 + a_3 + a_4 \cdot 10 + a_5 \cdot 10^2 + ... + a_n \cdot 10^n \equiv 0 \text{ mod } 37 \Leftrightarrow 37 | z$\\
\\
Interpretiere dies als \enquote{Summe der Hunderter}:\\
$(a_0+a_1 \cdot 10 + a_2 \cdot 10^2) + (a_3 + a_4 \cdot 10 + a_5 \cdot 10^2) + ... + a_n \cdot 10^n \equiv 0 \text{ mod } 37$\\
\\
$\Rightarrow \sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{3} \rfloor}
(a_{3i}+a_{3i+1}\cdot 10 + a_{3i+2} \cdot 10^2) \equiv 0 \text{ mod } 37$, aj = 0 für j>n\\
$\Rightarrow$ das vorher beschriebene Kriterium


\end{document}
