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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {10}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
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\hwsol

\section*{Aufgabe 10.2}

\begin{enumerate}[1.]


    \item $a \equiv b (\mod m) \Rightarrow a^2 \equiv b^2 (\mod m)$

        Beweis:

        $a \equiv b \text{ mod m}$

        $\Rightarrow a = b + k\cdot m, k \in \mathbb{Z}$

        $\Rightarrow a^2 = (b+k\cdot m)^2 = b^2 + 2b\cdot k \cdot m + k^2 \cdot m^2 = b^2 + (2\cdot b \cdot k + k^2\cdot m)\cdot m$

        $\Rightarrow a^2 \equiv b^2 \text{ mod m}$

        q.e.d

    \item $a^2 \equiv b^2 (\mod m) \Rightarrow a \equiv b (\mod m)$

        Gegenbeispiel:

        a $\equiv$ 2 mod 5 und b $\equiv$ -2 $\equiv$ 3 mod 5

        Es gilt: $a^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 3^2 \equiv b^2 \text{ mod } 5$.
        Aber $a \not \equiv b \text{ mod } 5$  und

    \item $a^2 \equiv b^2 (\mod m) \Rightarrow (a \equiv b (\mod m) \lor a \equiv -b (\mod m))$

        Gegenbeispiel a=2, b=4 und m=12

        Es gilt: $a^2 \text{ mod 12 } \equiv 2^2 \text{ mod 12 }\equiv 4 \text{ mod 12 } \equiv 4^2 \text{ mod 12 }\equiv b^2 \text{ mod 12 }$

        Aber 

        $2 \not \equiv 4 \text{ mod 12}$ und
        $2 \not \equiv -4 \text{ mod 12} \equiv 8 \text{ mod 12 }$ 

    \item $a \equiv b (\mod m) \Rightarrow a^2 \equiv b^2 (\mod m^2)$

        Gegenbeispiel a=4 b=9 und m=5, also $m^2=25$

        $\Rightarrow a \equiv b \text{ mod 5}$

        $\Rightarrow a^2 \equiv 16 \not \equiv 81 \equiv 6 \equiv b^2 \text{ mod 25}$

        $\Rightarrow a^2 \not \equiv b^2 \text{ mod 25}$





\end{enumerate}

\end{document}