\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
\usepackage{url}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{float}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{cancel}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{paralist}
\usepackage{tikz}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {7}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 7.2}

\begin{enumerate}[1.]

    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_1.png}

        \begin{itemize}
            \item Eulertour: $(1, 2, 3, 1)$
            \item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 1)$
        \end{itemize}

    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_2.png}

        \begin{itemize}
            \item Eulertour: $(1,2,3,4,5,3,1)$
            \item Kein Hamiltonkreis: (Widerspruchsbeweis)

                G sei hamiltonsch. Aufgrund der Symmetrie gibt es nur 2 Mögliche Startknoten für einen Hamiltonkreis:
                Der mittlere Knoten ($3$) oder einer der 4 äußeren Knoten ($1,2,4,5$).

                \begin{enumerate}[1.]
                    \item Fall: Starten bei Knoten $3$

                        Aufgrund der Symmetrie sind alle möglichen Wege von hier aus äquivalent. Nach $(3,1,2)$ ist es
                        unmöglich, die restlichen Knoten des Graphen zu besuchen, ohne $3$ erneut zu besuchen.

                        $\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning

                    \item Fall: Starten bei Knoten $1$ (oder äquivalent $2,4,5$)

                        Der einzige Weg, um die gegenüberliegenden Knoten ($4,5$) zu erreichen, führt über $3$. Um einen
                        Kreis zu bilden, muss man aber wieder zurück zu $1$ laufen. Dieser Weg führt erneut über $3$,
                        $3$ wird also doppelt durchlaufen

                        $\Rightarrow$ Kein Hamiltonkreis \lightning
                \end{enumerate}

                $\Rightarrow$ G ist nicht hamiltonsch

        \end{itemize}

    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_3.png}

        \begin{itemize}
            \item Keine Eulertour, da $deg(1) = deg(4) = 3$ ist nicht gerade
            \item Hamiltonkreis $(1, 2, 3, 4, 1)$
        \end{itemize}

    \item \includegraphics[scale=0.5]{./build/school/di-ma/uebung/07/07_2_4.png}

        Graph ist nicht zusammenhängend, daher ist die Grundvoraussetzung für \enquote{eulersch} und
        \enquote{hamiltonsch} nicht gegeben $\Rightarrow$ nicht eulersch und nicht hamiltonsch

\end{enumerate}

\end{document}
