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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {8}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 8.2}

Gerichtete Kante $\widehat{=}$ Sieg des Ausgangsknoten

\begin{enumerate}[1.]

    \item Kanten $\begin{cases}
            1: Schere \\
            2: Stein \\
            3: Papier \\
            4: Axt
        \end{cases}$

        Mit 4 Symbolen:

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.png}
        \end{figure}

        $\Rightarrow$ zwei Symbole können jeweils nur gegen genau ein anderes Symbol gewinnen.

        $\Rightarrow$ $A = \left( \begin{matrix}
                0 & 1 & -1 & -1 \\
                -1 & 0 & -1 & 1 \\
                1 & 1 & 0 & -1 \\
                1 & -1 & 1 & 0
        \end{matrix}\right)$

    \item mit 5 Symbolen: $\begin{cases}
            1: rock \\
            2: paper \\
            3: scissors \\
            4: spock \\
            5: lizard
        \end{cases}$

        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.png}
        \end{figure}

        $\Rightarrow$ $A = \left(\begin{matrix}
                0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
                -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
                1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
                -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
                1 & -1 & 1 & -1 & 0
            \end{matrix}\right)$

        $\Rightarrow$ Anhand der Adjazenzmatrix lässt sich ablesen, ob ein Spiel ausgewogen definiert wurde, d.h. bei
        einem ausgewogenen Spiel ist die Anzahl Aus- und Eingehender Kanten in einen Knoten identisch (Anzahl von $1$
        und $-1$ in jeder Zeile gleich)

        $\Rightarrow$ dies ist genau der Fall, wenn eine ungerade Anzahl an Symbolen existiert

        Verfahren:

        \begin{enumerate}[i.]

            \item Zeichne den gerichteten Graphen, der die aktuellen Regeln abbildet. Knoten $\widehat{=}$ Symbole,
                gerichtete Kante: Ursprungsknoten $=$ \enquote{verliert gegen}, Zielknoten $=$ \enquote{gewinnt gegen}.

            \item Füge 2 neue Symbole hinzu (Knoten)

            \item \label{new_old} Füge eine gerichtete Kante von einem neuen Knoten zu einem alten Knoten ein, zu dem
                noch keine Kante vorhanden ist, und gehe diese entlang zum alten Knoten

            \item \label{old_new} Füge eine gerichtete Kante vom Knoten zu einem neu hinzugefügten Knoten ein, to dem
                noch keine Kante
                besteht

            \item Wiederhole iii) und iv) bis keine neuen Kanten mehr hinzugefügt werden können

            \item verfollständige den Hamiltonkreis im äußeren Ring

            \item Wiederhole ii), falle die Anzahl neuer Symbole $> 2$ ist, jedoch muss die Anzahl von Symbolen
                $(|S_{alt}| + |S_{neu}|) \mod 2 = 1$ betragen

        \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
