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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {9}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 9.2}

\begin{enumerate}[1.]

    \item Ein $K_n$ mit $n \equiv 0 \mod 2$ ($n$ ist gerade) hat 2 perfekte Matchings, die jeweils versetzt jede zweite
        Kante des Kreises beinhalten

        Für ein perfektes Matching muss gelten $|M| = \frac{|V|}{2}$. Für einen Kreis $K_n$ mit $n \equiv 1 \mod 2$ ($n$
        ist ungerade) gilt $|V| = n$. Da $n$ ungerade existiert keine ganze Zahl $\frac{n}{2}$ $\Rightarrow$ es
        existiert kein perfektes Matching.

    \item
        \begin{enumerate}[i)]
            \item $M_1 = \{ \{000,100\}, \{001,101\}, \{010,110\}, \{011,111\} \}$
            \item $M_2 = \{ \{000,001\}, \{100,101\}, \{010,011\}, \{110,111\} \}$
            \item $M_3 = \{ \{000,010\}, \{001,011\}, \{100,110\}, \{101,111\} \}$
        \end{enumerate}

        Es gibt 3 perfekte Matchings.

    \item $\{ \{000,100\}, \{001,101\}, \{110,111\}, \{010,011\} \}$

\end{enumerate}

\end{document}
