\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834}				%
\def \uebung {9}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 9.1}

\begin{enumerate}[1.]

    \item
        \includegraphics[width=\textwidth]{build/school/di-ma/uebung/09/09_1.jpg}

    \item $M_{perfekt} = \{\{1,5\}, \{2,7\}, \{3,8\}, \{4,6\}\}$

        Es gibt kein weiteres perfektes Matching

        $5$ und $8$ haben Grad 1, daher müssen die Kanten $\{1,5\}$ und $\{3,8\}$ im perfekten Matching vorkommen.

        $\{1,6\}$ und $\{3,6\}$ können nicht mehr verwendet werden, da die Knoten $1$ und $3$ schon im Matching
        vorkommen, also ist die einzige Kante, die von $6$ ausgehend im Matching vorkommt, $\{4,6\}$ sein.

        $1,3,4,5,6,8$ kommen schon im Matching vor, es fehlen also nur noch $2$ und $7$ und damit die Kante $\{2,7\}$

    \item $M_{maximal \land \lnot maximum} = \{\{1,4\}, \{2,7\}, \{3,6\}\}$

\end{enumerate}

\end{document}
