\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}

%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl}					%
\def \matrikel {108018274494}				%
\def \pname {Marvin Herrmann}				%
\def \pmatrikel {108018265436}				%
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \uebung {2}								%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 % DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}

\begin{document}
%Import header
\hwsol

\section*{Aufgabe 2.1}
\begin{enumerate}[1.]
	\item Kekse $\widehat{=}$ Bälle (unterscheidbar, da \enquote{verschieden}), Portionen $\widehat{=}$ Urnen (nicht
		unterscheidbar). $n = 9$, $k = 5$

		Problem entspricht einer ungeordneten $k$-Mengenpartition, also $S_{n,k}$

		\begin{eqnarray*}
			S_{n,k} &=& S_{n-1,k-1} + k * S_{n-1,k} \text{ mit} \\
			S_{0,0} &=& 1 \\
			S_{n,n} &=& 1 \\
			S_{n,1} &=& 1 \\
			S_{n,0} &=& 0 \\\\
			S_{9,5} &=& 6951
		\end{eqnarray*}

	\item Bälle weiterhin unterscheidbar, Urnen jetzt auch unterscheidbar $\Rightarrow$ geordnete Mengenpartition.

		\begin{eqnarray*}
			k! * S_{n.k} &=& 5! * S_{9,5} \\
						 &=& 120 * 6951 \\
						 &=& 834120
		\end{eqnarray*}

	\item Jetzt gilt Teller $\widehat{=}$ Ball, Keks $\widehat{=}$ Urne. $n = 5$, $k = 3$.

		Urnen sind unterscheidbar, \enquote{fünfgangiges Menü} $\Rightarrow$ Bälle sind auch untescheidbar

		\begin{eqnarray*}
			n^{\underline{k}} &=& 5^{\underline{3}} \\
							  &=& 5 * 4 * 3 \\
							  &=& 60
		\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2.2}
\begin{enumerate}[1.]

	\item Zyklenzerlegung: $(1\ 2\ 4) (3) (5\ 9) (6) (7\ 8)$

		2 Fixpunkte: $3$ und $6$

	\item
		\begin{eqnarray*}
			s_{n.k} &=& s_{n-1,k-1} + (n-1)s_{n-1,k} \text{ mit} \\
			s_{0,0} &=& 1 \\
			s_{n,0} &=& 0 \\
			s_{n,n} &=& 1 \\\\
			s_{9,5} &=& 22449
		\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2.3}
\begin{enumerate}[1.]

	\item
		\begin{eqnarray*}
			x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 &=& 67 \text{ mit } x_i \ge 0 \text{ für } 1 \le i \le 6 \\
			\text{Normalisierung:} \\
			\text{für } 1 \le i \le 3 \rightarrow x_i' &=& x_i - 1 \text{ (ungerade Zahlen werden gerade)} \\
			\text{für } 4 \le i \le 6 \rightarrow x_i' &=& x_i \\
			\Rightarrow x_1' + x_2' + x_3' + x_4' + x_5' + x_6' &=& 64 \\
			\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow y_i &=& \frac{x_i'}{2}
				\text{ (Bedingung \enquote{alle Zahlen gerade} erfüllt)} \\
			\Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 &=& 32 \\
			\text{für } 1 \le i \le 6 \rightarrow z_i &=& y_i + 1 \\
			\Rightarrow z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + y_6 &=& 38 \\\\
			\Rightarrow \binom{n-1}{k-1} &=& \binom{37}{5} = 435897
		\end{eqnarray*}

	\item
		\begin{eqnarray*}
			P_{n,k} &=& P_{n-1,k-1} + P_{n-k,k} \text{ mit} \\
			P_{n.0} &=& 0 \\
			P_{n.n} &=& 1 \\
			P_{n.1} &=& 1 \\\\
			P_{10,4} &=& 9
		\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2.4}

\begin{itemize}

	\item Nur Schritte nach rechts oder oben sind erlaubt

	\item Insgesamt $n$ Schritte nach oben und $k$ Schritte nach rechts

	\item $\Rightarrow \frac{(n + k)!}{n! k!} = \binom{n + k}{k}$

\end{itemize}

\end{document}