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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {8} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 8.1}
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Sei $H_d$ der $d$-dimensionale Hyperwürfel.
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\begin{itemize}
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\item IA: $H_1$ und $H_2$ sind hamiltonsch:
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.png}
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\caption{$H_1$ mit Hamiltonkreis $(0,1,0)$}
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\end{figure}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.png}
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\caption{$H_2$ mit Hamiltonkreis $(00,01,11,10,00)$}
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\end{figure}
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\item Zu zeigen: Wenn $H_d$ hamiltonsch ist, ist auch $H_{d+1}$ hamiltonsch.
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\item Jeder weitere Hyperwürfel $H_{d+1}$ entsteht, indem man zwei mal $H_d$ nimmt und an jeden Knoten in der
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ersten Kopie eine $0$ und an jeden Knoten der zweiten Kopie eine $1$ anhängt. Anschließend werden alle Knoten
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aus der ersten und zweiten Kopie, die sich nur in der letzten Position unterscheiden, verbunden.
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\item $H_{d+1}$ besteht also jetzt schon aus 2 Kreisen $k_0, k_1$, den Hamiltonkreisen in den beiden Kopien von
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$H_d$. $k_n$ sei ein Hamiltonkreis in $H_d$, bei dem an jeden Knoten $n$ angehangen wird um der Benennung von
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$H_{d+1}$ zu entsprechen.
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\item Durchlaufen von $k_0$ bis zum letzten Knoten, anschließendes wechseln zum letzten Knoten aus $k_1$,
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umgekehrtes durchlaufen von $k_1$ und anschließendes wechseln zum ersten Knoten aus $k_0$ liefert den
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Hamiltonkreis in $H_{d+1}$.
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\end{itemize}
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\end{document}
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