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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {8} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 8.3}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item 6 Farben
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\begin{itemize}
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\item jede Farbe genau einmal neben einer anderen
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\item keine gleichen Farben nebeneinander
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\end{itemize}
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man müsste 3 Hamiltonkreise finden mit disjunkten Kanten. Da aber $\forall v \in V$ gilt, dass $deg(v)= 5$ und
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pro Hamiltonkreis zwei Kanten wegfallen, ist der letzte Pfad, nachdem zwei Hamiltonkreise abgelaufen wurden,
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kein Kreis, sprich Startknoten $\neq$ Endknoten
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$\Rightarrow$ Mindestens eine Farbkombination wird nicht erreicht
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$\Rightarrow$ nicht möglich mit 6 Farben
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\item Ungerade Anzahl Farben $\geq 3$.
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\begin{itemize}
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\item zeichne vollständigen Graphen (Knoten $\widehat{=}$ Farben)
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\item wähle beliebigen Startknoten und finde Kamiltonkreise, solange bis kein Hamiltonkreis mehr gefunden
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werden kann
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\item aktualisiere dabei den Graphen, indem die vom Hamiltonkreis genutzten Kanten aus dem Graph entfernt
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werden
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\item falls keine Kante mehr vorhanden (und auch kein Hamiltonkreis mehr), dann sind die gefundenen
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Hamiltonkreise eine mögliche Lösung des Problems.
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\end{itemize}
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% \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$
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% beschreibt einen Kreisgraph $C_n$.
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% $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten
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% Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt.
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% In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl
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% $\chi(C_n) = 2$ hat.
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% Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben,
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% Knoten die selbe Farbe haben $n/2$
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\end{enumerate}
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\end{document}
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