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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{wasysym}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{stmaryrd}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {8} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 8.4}
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Abhängig, d.h. $v$ vor $u \Rightarrow O_v > O_u$ und $I_v < I_u$
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\\
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Unabhängig, d.h. $\begin{cases}
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\includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.png} \\
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\includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.png}
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\end{cases}$
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\\
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\\
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Beweis durch Widerspruch: $\mathbb{A}: v,u \in V$, $v$ und $u$ sind unabhängig
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Fall: $I_v < I_u$ aber $O_v > O_u$.
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Da Einstiegspunkt von $v$ kleiner ist als $u$, wurde $v$ vor $u$ durchlaufen. Weil $v$ und $u$ unabhängig, gibt
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es ein $x \in V$, das die beiden Äste vereint. Für diesen muss dann nach Definition der Tiefensuche gelten, dass
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er vor $v$ und $u$ gefunden wurde ($I_x < I_v$ und $I_x < I_u$). Weiterhin gilt, dass $v$ vor $x$ vom Stack
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gepopt wird, genauso wie $u$. Also $O_v < O_x$ und $O_u < O_x$
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Insgesamt folgt somit nach Annahme
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\begin{itemize}
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\item $v$ vor $u$ durchlaufen
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\item $x$ vor $v$ und $u$ durchlaufen
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\item $v$ vor $x$ vom Stack gepopt
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\item $u$ vor $x$ vom Stack gepopt
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\item $u$ vor $v$ vom Stack gepopt
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\end{itemize}
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Somit bleibt nur die folgende Darstellung übrig, welche ein Widerspruch zur Unabhängigkeit ist.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.png}
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\end{figure}
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\item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v < O_u$
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$u$ wurde vor $v$ durchlaufen, aber $v$ wurde vor $u$ vom Stack gepopt.
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Dies ist genau dann der Fall, wenn ein $v$ Nachfolger von $u$ ist (es liegt im Graphen tiefer). Das heißt, dass
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$v$ und $u$ im gleichen Ast sind.
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$\lightning$ zu Unabhängigkeit.
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\end{enumerate}
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\noindent
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$\mathbb{A}: v,u \in V$ und $v$ und $u$ sind abhängig
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Fall: $I_v < I_u$ und $O_v < O_u$
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Da $v$ vor $u$ durchlaufen wurde und sie abhängig sind, müsste $u$ vor $v$ vom Stack genommen werden, nach
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Definition der Tiefensuche, welches somit im Widerspruch zu $O_v < O_u$ steht.
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\item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v > O_u$
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Dann wurde $u$ vor $v$ durchlaufen, allerdings wurde $u$ vor $v$ vom Stack gelöscht. Nach Definition der
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Tiefensuche werden aber Knoten die in einem Ast liegen von unten nach oben vom Stack gepopt. Somit Widerspruch
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zur Abhängigkeit
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\end{enumerate}
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\end{document}
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