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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{pifont}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{delarray}
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% \usepackage{minted}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{longtable}
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\usepackage{paralist}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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\graphicspath{.}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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% \def \pname {Vorname2 Nachname2} %
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% \def \pmatrikel {Matrikelnummer2} %
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\def \gruppe {Gruppe 193} %
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\def \uebung {5} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill Gruppe:\gruppe \\
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% \noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
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\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
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\newcommand{\csquare}{\text{\rlap{$\checkmark$}}\square}%
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 1}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Das National Bureau of Standards (NBS) (heute National Institute of Standards and Technology (NIST)) hat die
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Entwicklung des DES ausgeschrieben.
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\item DES wurde 1977 standardisiert.
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\item Die National Security Agency (NSA) hat an der Entwicklung des DES mitgewirkt.
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\item Die Kryptographen, die den Kandidaten eingereicht haben, gehörten IBM an.
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\item Auf einen Feistel Netz mit einer Blockgröße von 64 bit und einer Schlüssellänge von 128 bit
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\item Die Schlüssellänge von Lucifer ist 128 bit
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\item Die Schlüssellänge des DES ist 56 bit und das Sicherheitsniveau ist 56 bit.
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\item Es werden 64 bit in einer DES Operation verschlüsselt.
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\item Abbildung \ref{feist_alg} und \ref{feist_round}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.5]{./build/school/intro-crypto/uebung/05/a1i.png}
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\caption{Allgemeine Struktur eines Feistel Netzes}
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\label{feist_alg}
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\end{figure}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth/2]{school/intro-crypto/uebung/05/a1i2.jpg}
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\caption{Struktur einer Feistel Runde}
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\label{feist_round}
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\end{figure}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 2}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item
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\begin{tabular}{|c|ccccc|}
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\hline
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$S_4$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
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0 & 07 & 13 & 14 & 03 & 00 \\\hline
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1 & 13 & 08 & 11 & 05 & 06 \\\hline
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|
\end{tabular}
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\begin{tabular}{|c|ccccc|}
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\hline
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& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
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$(y_1,y_2,y_3,y_4)$ & 0111 & 1101 & 1110 & 0011 & 0000 \\\hline
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|
$(y_2,y_1,y_4,y_3)$ & 1011 & 1110 & 1101 & 0011 & 0000 \\\hline
|
|
$(y_2,y_1,y_4,y_3) \oplus (0,1,1,0)$ & 1101 & 1000 & 1011 & 0101 & 0110 \\\hline
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Dezimal & 13 & 8 & 11 & 5 & 6 \\\hline
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\end{tabular}
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|
Das Ergebnis entspricht genau der 1. Zeile in der S-Box $S_4$.
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\item
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\begin{tabular}{|c|ccccc|}
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\hline
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|
$S_4$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
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2 & 10 & 06 & 09 & 00 & 12 \\\hline
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3 & 03 & 15 & 00 & 06 & 10 \\\hline
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\end{tabular}
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Tabelle in binär:
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\begin{tabular}{|c|ccccc|}
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\hline
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$S_4$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
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2 & 1010 & 0110 & 1001 & 0000 & 1100 \\\hline
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|
3 & 0011 & 1111 & 0000 & 0110 & 1010 \\\hline
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|
\end{tabular}
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Gesucht:
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\begin{itemize}
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\item Permutationsfunktion $f : (y_1,y_2,y_3,y_4) \to (y_1',y_2',y_3',y_4')$
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\item xor Parameter $x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$
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\end{itemize}
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Der Ausgangswert von Spalte 3 (0000) bleibt von der Permutationsfunktion unverändert: $f(0000) = 0000 \Rightarrow x
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= 0000 \oplus 0110 = 0110$
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\begin{tabular}{|c|ccccc|}
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\hline
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|
$S_4$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
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3 & 0011 & 1111 & 0000 & 0110 & 1010 \\\hline
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|
Zeile $3 \oplus 0110$ & 0101 & 1001 & 0110 & 0000 & 1100 \\\hline
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2 & 1010 & 0110 & 1001 & 0000 & 1100 \\\hline
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|
\end{tabular}
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Man kann sehen, dass wieder $y_1$ mit $y_2$ und $y_3$ mit $y_4$ vertauscht werden.
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$\Rightarrow$ Ableitung von Zeile 2 zu 3:
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\begin{align*}
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(y_1,y_2,y_3,y_4) \to (y_2,y_1,y_4,y_3) \oplus (0,1,1,0)
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 3}
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\begin{enumerate}[a)]
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|
\item
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\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
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\hline
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& $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
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|
Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
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|
$IP(x)$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\\hline
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|
\end{tabular}
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\begin{align*}
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L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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R_0 &= 11111111111111111111111111111101 = L_1
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\end{align*}
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Das zu beobachtende Bit steht an Position $31$.
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\begin{align*}
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E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111011
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|
\end{align*}
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Auswirkungen:
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$S_1\ \square$
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$S_2\ \square$
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$S_3\ \square$
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$S_4\ \square$
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|
$S_5\ \square$
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|
$S_6\ \square$
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$S_7\ \square$
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|
$S_8\ \csquare$
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Eingangsbits: $E(R_0) \oplus 111111111111111111111111111111111111111111111111$
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S-Box $S_1$: $000000$
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S-Box $S_2$: $000000$
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S-Box $S_3$: $000000$
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S-Box $S_4$: $000000$
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S-Box $S_5$: $000000$
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S-Box $S_6$: $000000$
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S-Box $S_7$: $000000$
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S-Box $S_8$: $000100$
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\item
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Ausgabe der S-Boxen:
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S-Box $S_1$: $14 = 1110$
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S-Box $S_2$: $15 = 1111$
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S-Box $S_3$: $10 = 1010$
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S-Box $S_4$: $07 = 0111$
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S-Box $S_5$: $02 = 0010$
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S-Box $S_6$: $12 = 1100$
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S-Box $S_7$: $04 = 0100$
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S-Box $S_8$: $08 = 1000$
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Ausgabe nach allen S-Boxen:
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\begin{align*}
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s &= 11101111101001110010110001001000 \\
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P(s) &= 10000010010110011101011100111011 \\
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P(s) \oplus L_0 &= 01111101101001100010100011000100 = R_1 \\
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\\
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L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111101 \\
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R_1 &= 01111101101001100010100011000100
|
|
\end{align*}
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|
\item
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\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
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|
\hline
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|
& $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
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|
Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
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|
$IP(x)$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
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|
\end{tabular}
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\begin{align*}
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L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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R_0 &= 11111111111111111111111111111111 = L_1 \\
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E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
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E(R_0) &\oplus 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
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|
&= 000000000000000000000000000000000000000000000000
|
|
\end{align*}
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|
Einzige Änderung in S-Box $S_8$:
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\begin{align*}
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S_8(000000) &= 13 = 1101 \\
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s &= 11101111101001110010110001001101 \\
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P(s) &= 10000010011110011101011110111011 \\
|
|
\\
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L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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R_1 &= 01111101100001100010100001000100 \\
|
|
\end{align*}
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|
Anzahl geänderter Bits: In $L_1$: 1, in $R_1$: 2. Insgesamt 3 geänderte Bits
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 4}
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Aufbau einer Runde DES:
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Input: 64 Bit Daten unterteilt in $L_{n-1}, R_{n-1}$ und der Schlüssel $k_n$
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Output: $L_n$ und $R_n$, der Input für die nächst Feistel Runde
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Eine Runde im Feistel Netz sei beschrieben durch
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\begin{align*}
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F &: (L_{n-1}, R_{n-1}, k_n) \to (L_n, R_n) \\
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\end{align*}
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mit
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\begin{align*}
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L_n &= R_{n-1} \\
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R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
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f(k, x) &= P(S(E(x) \oplus k))
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\end{align*}
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|
mit den S-Boxen beschrieben in $S$, der E-Box $E$ und der abschließenden P-Box $P$
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Einschub: $a \oplus b = \overline{a} \oplus \overline{b}$ \\
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
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|
\hline
|
|
$a$ & $b$ & $\overline{a}$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $\overline{a} \oplus \overline{b}$ \\\hline
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|
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
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|
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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|
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
|
|
\end{tabular}
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|
Da $E$ nichts berechnet sondern nur deterministisch manche Bits kopiert, gilt $E(\overline{x}) = \overline{E(x)}$
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$\Rightarrow$ Der Input für die S-Boxen ist also
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\begin{align*}
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s &= E(\overline{x}) \oplus \overline{k} = \\
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&= \overline{E(x)} \oplus \overline{k} = \\
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&= E(x) \oplus k
|
|
\end{align*}
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|
Da der Input der S-Boxen für $f(k, x)$ und $f(\overline{k}, \overline{x})$ gleich ist, ist auch der Output gleich
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\begin{align*}
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|
\Rightarrow f(k, x) &= f(\overline{k}, \overline{x})
|
|
\end{align*}
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|
Einschub: $a \oplus \overline{b} = \overline{a \oplus b}$ \\
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|
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|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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|
\hline
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|
$a$ & $b$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $a \oplus \overline{b}$ \\\hline
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|
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\hline
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|
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline
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|
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\hline
|
|
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\hline
|
|
\end{tabular} \\
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|
Da der Output von $f$ gleich bleibt für komplementären Input:
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\begin{align*}
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|
R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
|
|
\\
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|
\overline{R_n} &= f(\overline{k_n}, \overline{R_{n-1}}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
|
|
&= f(k_n, R_{n-1}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
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|
\end{align*}
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|
Da $L_n$ ohne Veränderung aus $R_{n-1}$ übernommen wird, gilt weiter:
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\begin{align*}
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|
\overline{L_n} &= \overline{R_{n-1}}
|
|
\end{align*}
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|
Für jede einzelne Runde im Feistel Netz gilt also
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\begin{align*}
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|
F(\overline{L_{n-1}}, \overline{R_{n-1}}, \overline{k_n}) &= \overline{F(L_{n-1}, R_{n-1}, k_n)}
|
|
\end{align*}
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|
Da auch die Ein- und Ausgangspermutation $IP$ und $IP^{-1}$ nur Bits auf eine deterministische Weise vertauschen, gilt:
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|
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\begin{align*}
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|
\overline{i(x)} = i(\overline{x}) \forall i \in \{IP, IP^{-1}\}
|
|
\end{align*}
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|
Ein- und Ausgangspermutation geben für komplementären Input also komplementären Output, genauso wie jede Runde im
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|
Feistel Netz und damit der gesamte DES Algorithmus
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$\Rightarrow$ Wenn $y = DES_k(x)$, dann $\overline{y} = DES_{\overline{k}}(\overline{x})$
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|
% \section*{Code}
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|
% \inputminted{rust}{./school/intro-crypto/uebung/05/p/src/main.rs}
|
|
|
|
\end{document}
|
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