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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {5} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 5.2}
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Zu zeigen: Ein zusammenhängender Graph $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ ist ein Baum.\\
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\noindent
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Nach Definition ist ein Baum ein kreisfreier zusammenhängender Graph.
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Es gilt für G zu zeigen:, dass
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\begin{itemize}
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\item G ist kreisfrei
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\item G ist zusammenhängend (nach Aufgabenstellung bereits erfüllt)
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\end{itemize}
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\noindent
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\textbf{Beweis durch Widerspruch}\\
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Annahme: Es gibt einen Kreis (1,...,k) in G, wobei $k \in \mathbb{N} $ und $1\leq k \leq n$ $(V=\{1,...,n\})$.\\
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\noindent
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Die Knoten 1 bis k sind durch einen Pfad mit (k-1) Knoten verbunden. Eine weitere Kante besteht zwischen k und 1, da es
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sich um einen Kreis handelt. Da der Graph zusammenhängend ist, gibt es weitere (n-k) Knoten, die nicht im Kreis liegen
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und durch eine Kante mit dem Graphen verbunden sind.\\
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\\
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\noindent
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$\Rightarrow |E|=(k-1)+1+(n-k)=n=|V|$\\
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Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass gilt $|E|=|V|-1$.
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$\Rightarrow$ G ist somit Kreisfrei.\\
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\\
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\noindent
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Insgesamt folgt damit, dass $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ kreisfrei und zusammenhängend ist. Somit ist G ein Baum.\\
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q.e.d.
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\end{document}
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