Add dima u05

school/di-ma/uebung/05/05_1.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
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+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{csquotes}
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+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {5}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 5.1}
+
+
+Party mit Daisy und Donald. Daisy bekommt 9 verschiedene Antworten, Partner begrüßen sich nicht gegenseitig.  Insgesamt
+gibt es 10 Personen und somit 9 verschiedene Möglichkeiten, wie viele Leute begrüßt werden können.\\
+\\
+\noindent
+Nach dem Schubfachprinzip müssen nun 2 Personen die gleiche Anzahl an Personen begrüßt haben. Da Daisy auf Nachfrage 9
+verschiedene Antworten bekommt, muss Daisy die gleiche Anzahl an Begrüßungen haben wie jemand anderes.\\
+\\
+\noindent
+Um die korrekte Anzahl an Begrüßungen zu erhalten, hat der Partner von der Person mit 8 Begrüßungen dann 0 Begrüßungen.
+Die weiteren Paare haben 7 und 1, 6 und 2, 5 und 3 sowie 4 und 4.\\
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.5]{school/di-ma/uebung/05/a1.png}
+\caption{Graph mit Begrüßungen (Label ist Anzahl Begrüßungen)}
+\end{figure}
+\noindent
+Da Daisy die gleiche Anzahl an Begrüßungen hat und es in dem Graphen (der komb. Argumentation) nur ein Paar gibt mit
+gleichen Begrüßungsanzahlen gibt, muss Daisy zu diesem Paar gehören. Demzufolge hat Donald ebenfalls die gleiche Anzahl
+und beide haben 4 Begrüßungen.
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/05/05_2.tex

@@ -0,0 +1,72 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {5}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 5.2}
+
+
+Zu zeigen: Ein zusammenhängender Graph $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ ist ein Baum.\\
+\noindent
+Nach Definition ist ein Baum ein kreisfreier zusammenhängender Graph.
+Es gilt für G zu zeigen:, dass
+\begin{itemize}
+    \item G ist kreisfrei
+    \item G ist zusammenhängend (nach Aufgabenstellung bereits erfüllt)
+\end{itemize}
+\noindent
+\textbf{Beweis durch Widerspruch}\\
+Annahme: Es gibt einen Kreis (1,...,k) in G, wobei $k \in \mathbb{N} $ und $1\leq k \leq n$ $(V=\{1,...,n\})$.\\
+\noindent
+Die Knoten 1 bis k sind durch einen Pfad mit (k-1) Knoten verbunden. Eine weitere Kante besteht zwischen k und 1, da es
+sich um einen Kreis handelt. Da der Graph zusammenhängend ist, gibt es weitere (n-k) Knoten, die nicht im Kreis liegen
+und durch eine Kante mit dem Graphen verbunden sind.\\
+\\
+\noindent
+$\Rightarrow |E|=(k-1)+1+(n-k)=n=|V|$\\
+Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass gilt $|E|=|V|-1$.
+$\Rightarrow$ G ist somit Kreisfrei.\\
+\\
+\noindent
+Insgesamt folgt damit, dass $G=(V,E)$ mit $|E|=|V|-1$ kreisfrei und zusammenhängend ist. Somit ist G ein Baum.\\
+q.e.d.
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/05/05_3.tex

@@ -0,0 +1,92 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {5}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 5.3}
+
+\begin{figure}[h!]
+\begin{tabular}{c|cccc}
+      & A & B & C & D \\\hline
+    1 & \underline{2} & 3 & 3 & 2 \\
+    2 & 3 & 4 & \underline{4} & 3 \\
+    3 & 3 & \underline{4} & 4 & 3 \\
+    4 & 2 & 3 & 3 & \underline{2}
+\end{tabular}
+\caption{Anzahl der von einem Feld aus erreichbaren Felder}
+\end{figure}
+
+\begin{itemize}
+
+    \item Gegenüberliegende Ecken teilen sich die beiden Felder, die von der Ecke aus erreichbar sind. Für die
+        gegenüberliegenden Ecken $A1$ und $D4$ teilen sich die Felder $B3$ und $C2$ als mögliche Ein- und
+        Ausgangafelder.
+
+    \item Wenn man auf einem der inneren Felder beginnt und die jeweils gegenüberliegenden Ecken erreichen will, ist es
+        unvermeidbar, ein Feld 2 mal zu besuchen. Im Beispiel oben: $(B3, A1, C2, D4)$. Anschließend können nur bereits
+        besuchte Felder erreicht werden.
+
+\end{itemize}
+
+Fallunterscheidung:
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Fall: Starte nicht in einer Ecke
+
+        Um eine Ecke zu erreichen, muss man eines der beiden inneren Felder besuchen, von denen aus man in die Ecke
+        kommt. Danach ist nur noch eines der beiden Innenfelder erreichbar. Möchte man die gegenüberliegende Ecke auch
+        besuchen, muss man von der Ecke über das zweite Innenfeld in die gegenüberliegende Ecke springen. Jetzt sind
+        beide Felder, die von der Ecke erreichbar sind bereits besucht und man kann nicht weiter ziehen.
+
+    \item Fall: Starte in einer Ecke
+
+        Jetzt ist es möglich die Start Ecke und die gegenüberliegende Ecke zu besuchen. Wie in Fall 1 gezeigt, ist es
+        jetzt aber nicht mehr möglich, die dritte und vierte Ecke zu besuchen.
+
+\end{enumerate}
+
+$\Rightarrow$ Man muss also in einer Ecke starten, um die gegenüberliegende Ecke besuchen zu können. Da man aber 2 Paare an
+gegenüberliegenden Ecken hat, kann die Bedingung nur für eines der beiden Paare zutreffen und es ist nicht möglich,
+beide Ecken des anderen Paares zu besuchen.
+
+\end{document}
+

school/di-ma/uebung/05/05_4.tex

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+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {5}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 5.4}
+
+\begin{itemize}
+
+    \item Betrachtung des Problems analog zur korrekten Klammerung
+
+    \item Für jede \enquote{Stufe der Pyramide}, die man hochsteigt, muss auch wieder eine Stufe runter gestiegen
+        werden. Z.B. für die Basis mit 3 Münzen: $HRHRHR = ()()()$
+
+    \item Stapelt man jetzt Münzen, z.B. 4 Basismünzen und ganz links 2 Münzen nebeneinander
+
+        $HHRHRRHR = (()())()$
+
+    \item Da jeder Münzturm mit $n$ Münzen zur Basis genau auf eine korrekte Klammerung mit $2n$ Klammern abbildet (und
+        natürlich anders herum), sind die Mengen (aller Münztürme mit $n$ Basismünzen, alle korrekten Klammerungen mit
+        $2n$ Klammern) gleich
+
+\end{itemize}
+
+$\Rightarrow C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}$
+
+
+\end{document}
+