Add solution for dima 8

school/di-ma/uebung/08/08_1.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {8}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 8.1}
+
+Sei $H_d$ der $d$-dimensionale Hyperwürfel.
+
+\begin{itemize}
+
+    \item IA: $H_1$ und $H_2$ sind hamiltonsch:
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_1.png}
+            \caption{$H_1$ mit Hamiltonkreis $(0,1,0)$}
+        \end{figure}
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_1_2.png}
+            \caption{$H_2$ mit Hamiltonkreis $(00,01,11,10,00)$}
+        \end{figure}
+
+    \item Zu zeigen: Wenn $H_d$ hamiltonsch ist, ist auch $H_{d+1}$ hamiltonsch.
+
+    \item Jeder weitere Hyperwürfel $H_{d+1}$ entsteht, indem man zwei mal $H_d$ nimmt und an jeden Knoten in der
+        ersten Kopie eine $0$ und an jeden Knoten der zweiten Kopie eine $1$ anhängt. Anschließend werden alle Knoten
+        aus der ersten und zweiten Kopie, die sich nur in der letzten Position unterscheiden, verbunden.
+
+    \item $H_{d+1}$ besteht also jetzt schon aus 2 Kreisen $k_0, k_1$, den Hamiltonkreisen in den beiden Kopien von
+        $H_d$. $k_n$ sei ein Hamiltonkreis in $H_d$, bei dem an jeden Knoten $n$ angehangen wird um der Benennung von
+        $H_{d+1}$ zu entsprechen.
+
+    \item Durchlaufen von $k_0$ bis zum letzten Knoten, anschließendes wechseln zum letzten Knoten aus $k_1$,
+        umgekehrtes durchlaufen von $k_1$ und anschließendes wechseln zum ersten Knoten aus $k_0$ liefert den
+        Hamiltonkreis in $H_{d+1}$.
+
+\end{itemize}
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/08/08_1_1.dot

@@ -0,0 +1,5 @@
+graph {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="circle" ];
+    0 -- 1;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_1_2.dot

@@ -0,0 +1,14 @@
+graph {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank=same;
+        00 -- 10;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        01 -- 11;
+    }
+    00 -- 01;
+    10 -- 11;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_2.tex

@@ -0,0 +1,129 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
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+\usepackage{float}
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {8}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 8.2}
+
+Gerichtete Kante $\widehat{=}$ Sieg des Ausgangsknoten
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Kanten $\begin{cases}
+            1: Schere \\
+            2: Stein \\
+            3: Papier \\
+            4: Axt
+        \end{cases}$
+
+        Mit 4 Symbolen:
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_1.png}
+        \end{figure}
+
+        $\Rightarrow$ zwei Symbole können jeweils nur gegen genau ein anderes Symbol gewinnen.
+
+        $\Rightarrow$ $A = \left( \begin{matrix}
+                0 & 1 & -1 & -1 \\
+                -1 & 0 & -1 & 1 \\
+                1 & 1 & 0 & -1 \\
+                1 & -1 & 1 & 0
+        \end{matrix}\right)$
+
+    \item mit 5 Symbolen: $\begin{cases}
+            1: rock \\
+            2: paper \\
+            3: scissors \\
+            4: spock \\
+            5: lizard
+        \end{cases}$
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics{build/school/di-ma/uebung/08/08_2_2.png}
+        \end{figure}
+
+        $\Rightarrow$ $A = \left(\begin{matrix}
+                0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
+                -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
+                1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
+                -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
+                1 & -1 & 1 & -1 & 0
+            \end{matrix}\right)$
+
+        $\Rightarrow$ Anhand der Adjazenzmatrix lässt sich ablesen, ob ein Spiel ausgewogen definiert wurde, d.h. bei
+        einem ausgewogenen Spiel ist die Anzahl Aus- und Eingehender Kanten in einen Knoten identisch (Anzahl von $1$
+        und $-1$ in jeder Zeile gleich)
+
+        $\Rightarrow$ dies ist genau der Fall, wenn eine ungerade Anzahl an Symbolen existiert
+
+        Verfahren:
+
+        \begin{enumerate}[i.]
+
+            \item Zeichne den gerichteten Graphen, der die aktuellen Regeln abbildet. Knoten $\widehat{=}$ Symbole,
+                gerichtete Kante: Ursprungsknoten $=$ \enquote{verliert gegen}, Zielknoten $=$ \enquote{gewinnt gegen}.
+
+            \item Füge 2 neue Symbole hinzu (Knoten)
+
+            \item \label{new_old} Füge eine gerichtete Kante von einem neuen Knoten zu einem alten Knoten ein, zu dem
+                noch keine Kante vorhanden ist, und gehe diese entlang zum alten Knoten
+
+            \item \label{old_new} Füge eine gerichtete Kante vom Knoten zu einem neu hinzugefügten Knoten ein, to dem
+                noch keine Kante
+                besteht
+
+            \item Wiederhole iii) und iv) bis keine neuen Kanten mehr hinzugefügt werden können
+
+            \item verfollständige den Hamiltonkreis im äußeren Ring
+
+            \item Wiederhole ii), falle die Anzahl neuer Symbole $> 2$ ist, jedoch muss die Anzahl von Symbolen
+                $(|S_{alt}| + |S_{neu}|) \mod 2 = 1$ betragen
+
+        \end{enumerate}
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/08/08_2_1.dot

@@ -0,0 +1,16 @@
+digraph {
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank=same;
+        1;
+        2;
+    }
+
+    {
+        rank=same;
+        3;4;
+    }
+    1 -> 3 -> 4 -> 2 -> 1;
+    2 -> 3;
+    1 -> 4;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_2_2.dot

@@ -0,0 +1,17 @@
+digraph {
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank=same;
+        1;2;
+    }
+    {
+        rank=same;
+        3;5;
+    }
+    1 -> 5 -> 4 -> 3 -> 2 -> 1;
+    1 -> 3;
+    2 -> 4;
+    3 -> 5;
+    4 -> 1;
+    5 -> 2;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_3.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {8}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 8.3}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$
+        beschreibt einen Kreisgraph $C_n$.
+
+        $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten
+        Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt.
+
+        In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl
+        $\chi(C_n) = 2$ hat.
+
+        Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben,
+        Knoten die selbe Farbe haben $n/2$
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}